Страница 23 номер 71, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Известно, что числа \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\) — положительные и \(c > a\), \(b < d\). Сравните выражения \(\frac{a}{d}\) и \(\frac{c}{b}\).
Представим выражения в виде произведений: \(\frac{a}{d} = a \cdot \frac{1}{d}\) и \(\frac{c}{b} = c \cdot \frac{1}{b}\).
Числа \(b\) и \(d\) положительны и \(b < d\), поэтому при переходе к обратным величинам знак меняется: \(\frac{1}{b} > \frac{1}{d}\), то есть \(\frac{1}{d} < \frac{1}{b}\).
Неравенство \(c > a\) запишем в виде \(a < c\).
Неравенства \(a < c\) и \(\frac{1}{d} < \frac{1}{b}\) одного знака, все их части положительны (числа \(a\) и \(c\) — по условию, \(\frac{1}{d}\) и \(\frac{1}{b}\) — как частные положительных чисел), поэтому их можно перемножить почленно: \[\begin{aligned} a \cdot \frac{1}{d} &< c \cdot \frac{1}{b}; \\ \frac{a}{d} &< \frac{c}{b}. \end{aligned}\]
Ответ: \(\frac{a}{d} < \frac{c}{b}\).
Известно, что числа \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\) — положительные и \(c > a\), \(b < d\). Сравните выражения \(\frac{a}{d}\) и \(\frac{c}{b}\).
Представим каждое из выражений в виде произведения: \(\frac{a}{d} = a \cdot \frac{1}{d}\) и \(\frac{c}{b} = c \cdot \frac{1}{b}\).
Числа \(b\) и \(d\) положительны и \(b < d\). Если обе части неравенства положительны, то при переходе к обратным величинам знак неравенства меняется на противоположный: \(\frac{1}{b} > \frac{1}{d}\), то есть \(\frac{1}{d} < \frac{1}{b}\).
Неравенство \(c > a\) запишем в виде \(a < c\), поменяв его части местами и изменив знак на противоположный.
Неравенства \(a < c\) и \(\frac{1}{d} < \frac{1}{b}\) одного знака, и все их части положительны: числа \(a\) и \(c\) положительны по условию, а числа \(\frac{1}{d}\) и \(\frac{1}{b}\) — как частные положительных чисел. Такие неравенства можно перемножить почленно — меньшую часть с меньшей, бо́льшую с бо́льшей: \[\begin{aligned} a \cdot \frac{1}{d} &< c \cdot \frac{1}{b}; \\ \frac{a}{d} &< \frac{c}{b}. \end{aligned}\]
Ответ: \(\frac{a}{d} < \frac{c}{b}\).
