Страница 22 номер 57, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Сравните выражение \(28m + 9\) с переменной \(a\), если известно, что \(a \le 3b + 2c\), \(b \le 4m + 7\) и \(c \le 8m - 6\).
\(3b \leqslant 3(4m + 7)\), то есть \(3b \leqslant 12m + 21\) — умножили обе части \(b \leqslant 4m + 7\) на положительное число 3, знак сохраняется.
\(2c \leqslant 2(8m - 6)\), то есть \(2c \leqslant 16m - 12\) — умножили обе части \(c \leqslant 8m - 6\) на положительное число 2, знак сохраняется.
\(3b + 2c \leqslant 12m + 21 + 16m - 12\) — сложили почленно неравенства одного знака.
\(12m + 21 + 16m - 12 = 28m + 9\), поэтому \(3b + 2c \leqslant 28m + 9\).
Из \(a \leqslant 3b + 2c\) и \(3b + 2c \leqslant 28m + 9\) следует, что \(a \leqslant 28m + 9\), то есть \(28m + 9 \geqslant a\).
Ответ: \(28m + 9 \geqslant a\).
Сравните выражение \(28m + 9\) с переменной \(a\), если известно, что \(a \le 3b + 2c\), \(b \le 4m + 7\) и \(c \le 8m - 6\).
Умножим обе части неравенства \(b \leqslant 4m + 7\) на положительное число 3 — при умножении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется: \(3b \leqslant 3(4m + 7)\), то есть \(3b \leqslant 12m + 21\).
Умножим обе части неравенства \(c \leqslant 8m - 6\) на положительное число 2, знак неравенства сохраняется: \(2c \leqslant 2(8m - 6)\), то есть \(2c \leqslant 16m - 12\).
Нестрогие неравенства \(3b \leqslant 12m + 21\) и \(2c \leqslant 16m - 12\) одного знака, поэтому их можно сложить почленно — меньшую часть с меньшей, бо́льшую с бо́льшей; сумма нестрогих неравенств — нестрогое неравенство: \(3b + 2c \leqslant 12m + 21 + 16m - 12\). Так как \(12m + 21 + 16m - 12 = 28m + 9\), получаем \(3b + 2c \leqslant 28m + 9\).
По условию \(a \leqslant 3b + 2c\). Из неравенств \(a \leqslant 3b + 2c\) и \(3b + 2c \leqslant 28m + 9\) следует, что \(a \leqslant 28m + 9\): транзитивность верна и для нестрогих неравенств. Поменяв местами части неравенства и сменив его знак на противоположный, получаем \(28m + 9 \geqslant a\).
Ответ: \(28m + 9 \geqslant a\).
