Страница 106 номер 562, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Уравнение \(x^2 - 2x - 5 = 0\) имеет два корня: \(x_1\) и \(x_2\). Вычислите \(x_1^3 + x_2^3\).
\[D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 4 + 20 = 24.\] Поскольку \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня. По теореме Виета \[\begin{aligned} x_1 + x_2 &= 2; \\ x_1x_2 &= -5. \end{aligned}\] \((x_1 + x_2)^3 = x_1^3 + 3x_1^2x_2 + 3x_1x_2^2 + x_2^3\), поэтому \[\begin{aligned} x_1^3 + x_2^3 &= (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2); \\ x_1^3 + x_2^3 &= 2^3 - 3 \cdot (-5) \cdot 2 = 8 + 30 = 38. \end{aligned}\]
Ответ: 38.
Уравнение \(x^2 - 2x - 5 = 0\) имеет два корня: \(x_1\) и \(x_2\). Вычислите \(x_1^3 + x_2^3\).
Найдём дискриминант уравнения: \[D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 4 + 20 = 24.\] Поскольку \(D > 0\), уравнение действительно имеет два различных корня \(x_1\) и \(x_2\). По теореме Виета \[\begin{aligned} x_1 + x_2 &= 2; \\ x_1x_2 &= -5. \end{aligned}\] По формуле куба суммы \((x_1 + x_2)^3 = x_1^3 + 3x_1^2x_2 + 3x_1x_2^2 + x_2^3\), поэтому \[x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2).\] Подставим значения суммы и произведения корней: \[x_1^3 + x_2^3 = 2^3 - 3 \cdot (-5) \cdot 2 = 8 + 30 = 38.\]
Ответ: 38.
