Страница 106 номер 561, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
При каком значении параметра \(m\) сумма квадратов корней уравнения \(x^2 + (2 - m)x - m - 3 = 0\) будет наименьшей?
Старший коэффициент равен 1, поэтому при любом \(m\) уравнение квадратное. \[D = (2 - m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-m - 3) = m^2 - 4m + 4 + 4m + 12 = m^2 + 16.\] \(m^2 \geqslant 0\), поэтому \(D = m^2 + 16 > 0\) и уравнение имеет два различных корня при любом \(m\). По теореме Виета \[\begin{aligned} x_1 + x_2 &= -(2 - m) = m - 2; \\ x_1x_2 &= -m - 3. \end{aligned}\] \((x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2\), поэтому \[\begin{aligned} &x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (m - 2)^2 - 2(-m - 3) = {} \\ &= m^2 - 4m + 4 + 2m + 6 = m^2 - 2m + 10. \end{aligned}\] Выделим полный квадрат: \[m^2 - 2m + 10 = (m^2 - 2 \cdot 1 \cdot m + 1^2) - 1^2 + 10 = (m - 1)^2 + 9.\] Выражение \((m - 1)^2\) неотрицательно и равно нулю только при \(m = 1\), поэтому сумма квадратов корней не меньше 9 и принимает наименьшее значение 9 при \(m = 1\).
Ответ: при \(m = 1\).
При каком значении параметра \(m\) сумма квадратов корней уравнения \(x^2 + (2 - m)x - m - 3 = 0\) будет наименьшей?
Старший коэффициент уравнения равен 1, поэтому при любом значении \(m\) уравнение является квадратным. Найдём его дискриминант: \[D = (2 - m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-m - 3) = m^2 - 4m + 4 + 4m + 12 = m^2 + 16.\] При любом \(m\) верно \(m^2 \geqslant 0\), поэтому \(D = m^2 + 16 > 0\) и уравнение имеет два различных корня \(x_1\) и \(x_2\). По теореме Виета \[\begin{aligned} x_1 + x_2 &= -(2 - m) = m - 2; \\ x_1x_2 &= -m - 3. \end{aligned}\] Из формулы квадрата суммы \((x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2\) получаем \[\begin{aligned} &x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (m - 2)^2 - 2(-m - 3) = {} \\ &= m^2 - 4m + 4 + 2m + 6 = m^2 - 2m + 10. \end{aligned}\] Выделим полный квадрат: \[m^2 - 2m + 10 = (m^2 - 2 \cdot 1 \cdot m + 1^2) - 1^2 + 10 = (m - 1)^2 + 9.\] Выражение \((m - 1)^2\) неотрицательно при любом \(m\) и равно нулю только при \(m = 1\). Поэтому сумма квадратов корней не меньше 9 и принимает наименьшее значение 9 только при \(m = 1\).
Ответ: при \(m = 1\).
