Страница 106 номер 560, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Известно, что уравнение \(x^2 + 5x + m = 0\) имеет корни \(x_1\) и \(x_2\), а \(x_1^3 + x_2^3 = -170\). Найдите \(m\).
Уравнение имеет корни, поэтому по теореме Виета \[\begin{aligned} x_1 + x_2 &= -5; \\ x_1x_2 &= m. \end{aligned}\] \((x_1 + x_2)^3 = x_1^3 + 3x_1^2x_2 + 3x_1x_2^2 + x_2^3\), поэтому \[\begin{aligned} x_1^3 + x_2^3 &= (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2); \\ x_1^3 + x_2^3 &= (-5)^3 - 3m \cdot (-5) = -125 + 15m. \end{aligned}\] По условию \(x_1^3 + x_2^3 = -170\): \[\begin{aligned} -125 + 15m &= -170; \\ 15m &= -45; \qquad | : 15 \\ m &= -3. \end{aligned}\] Равенства Виета верны, только если корни есть. При \(m = -3\) уравнение \(x^2 + 5x - 3 = 0\) имеет дискриминант \[D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 25 + 12 = 37.\] Дискриминант положителен, значит, корни есть, и для них \(x_1^3 + x_2^3 = -125 + 15 \cdot (-3) = -170\).
Ответ: \(m = -3\).
Известно, что уравнение \(x^2 + 5x + m = 0\) имеет корни \(x_1\) и \(x_2\), а \(x_1^3 + x_2^3 = -170\). Найдите \(m\).
Уравнение имеет корни \(x_1\) и \(x_2\), поэтому по теореме Виета \[\begin{aligned} x_1 + x_2 &= -5; \\ x_1x_2 &= m. \end{aligned}\] По формуле куба суммы \((x_1 + x_2)^3 = x_1^3 + 3x_1^2x_2 + 3x_1x_2^2 + x_2^3\), поэтому \[x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2).\] Подставим значения суммы и произведения корней: \[x_1^3 + x_2^3 = (-5)^3 - 3m \cdot (-5) = -125 + 15m.\] По условию \(x_1^3 + x_2^3 = -170\). Составим уравнение, перенесём число \(-125\) в правую часть, изменив его знак, и разделим обе части на 15: \[\begin{aligned} -125 + 15m &= -170; \\ 15m &= -45; \qquad | : 15 \\ m &= -3. \end{aligned}\] Равенства Виета верны только для уравнения, у которого есть корни, поэтому проверим, что при \(m = -3\) корни существуют. Найдём дискриминант уравнения \(x^2 + 5x - 3 = 0\): \[D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 25 + 12 = 37.\] Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два различных корня, и для них \(x_1^3 + x_2^3 = -125 + 15 \cdot (-3) = -170\).
Ответ: \(m = -3\).
