Страница 106 номер 559, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Дано уравнение \(2x^2 - 10x - 3 = 0\). Не вычисляя его корней \(x_1\) и \(x_2\), найдите значение выражения \(x_1^2 + 4x_1x_2 + x_2^2\).
\[D = (-10)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 100 + 24 = 124.\] Поскольку \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня. По теореме Виета \[\begin{aligned} x_1 + x_2 &= -\frac{-10}{2} = 5; \\ x_1x_2 &= -\frac{3}{2}. \end{aligned}\] Тогда \[\begin{aligned} &x_1^2 + 4x_1x_2 + x_2^2 = (x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2) + 2x_1x_2 = {} \\ &= (x_1 + x_2)^2 + 2x_1x_2 = 5^2 + 2 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = 25 - 3 = 22. \end{aligned}\]
Ответ: 22.
Дано уравнение \(2x^2 - 10x - 3 = 0\). Не вычисляя его корней \(x_1\) и \(x_2\), найдите значение выражения \(x_1^2 + 4x_1x_2 + x_2^2\).
Найдём дискриминант уравнения: \[D = (-10)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 100 + 24 = 124.\] Поскольку \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня \(x_1\) и \(x_2\). По теореме Виета \[\begin{aligned} x_1 + x_2 &= -\frac{-10}{2} = 5; \\ x_1x_2 &= -\frac{3}{2}. \end{aligned}\] Выделим в выражении квадрат суммы \(x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2\): \[\begin{aligned} &x_1^2 + 4x_1x_2 + x_2^2 = (x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2) + 2x_1x_2 = {} \\ &= (x_1 + x_2)^2 + 2x_1x_2 = 5^2 + 2 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = 25 - 3 = 22. \end{aligned}\]
Ответ: 22.
