Страница 106 номер 558, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Сколько пар чисел \((m; n)\) удовлетворяет условиям \(m + n = 2\) и \(mn = -48\)? Запишите эти пары.
Составим приведённое уравнение с коэффициентом при \(t\), равным \(-(m + n) = -2\), и свободным членом \(mn = -48\): \[t^2 - 2t - 48 = 0.\] По теореме, обратной теореме Виета, \(m\) и \(n\) — его корни, других корней у него нет.
Дискриминант \(D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 196\) положителен, \(\sqrt{D} = 14\): \[\begin{aligned} t_1 &= \frac{2 - 14}{2} = -6; \\ t_2 &= \frac{2 + 14}{2} = 8. \end{aligned}\] Значит, каждое из чисел \(m\) и \(n\) равно \(-6\) или \(8\). Так как \(n = 2 - m\), то при \(m = -6\) получаем \(n = 8\), а при \(m = 8\) — \(n = -6\). Обе пары удовлетворяют условиям: \(-6 + 8 = 2\) и \((-6) \cdot 8 = -48\).
Порядок чисел в паре важен (первое — \(m\), второе — \(n\)), поэтому \((-6; 8)\) и \((8; -6)\) — две разные пары.
Ответ: две пары: \((-6; 8)\) и \((8; -6)\).
Сколько пар чисел \((m; n)\) удовлетворяет условиям \(m + n = 2\) и \(mn = -48\)? Запишите эти пары.
Пусть пара чисел \((m; n)\) удовлетворяет условиям \(m + n = 2\) и \(mn = -48\). Составим приведённое квадратное уравнение, у которого коэффициент при \(t\) равен \(-(m + n) = -2\), а свободный член равен \(mn = -48\): \[t^2 - 2t - 48 = 0.\] По теореме, обратной теореме Виета, числа \(m\) и \(n\) являются корнями этого уравнения, причём других корней у него нет.
Найдём корни уравнения. Его дискриминант \(D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 196\) положителен, \(\sqrt{D} = 14\): \[\begin{aligned} t_1 &= \frac{2 - 14}{2} = -6; \\ t_2 &= \frac{2 + 14}{2} = 8. \end{aligned}\] Значит, каждое из чисел \(m\) и \(n\) равно \(-6\) или \(8\). Так как \(n = 2 - m\), то при \(m = -6\) получаем \(n = 8\), а при \(m = 8\) получаем \(n = -6\). Обе пары удовлетворяют условиям: \(-6 + 8 = 2\) и \((-6) \cdot 8 = -48\).
В паре важен порядок чисел: первое число — \(m\), второе — \(n\). Поэтому \((-6; 8)\) и \((8; -6)\) — две разные пары.
Ответ: две пары: \((-6; 8)\) и \((8; -6)\).
