Страница 106 номер 556, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Разложите многочлен \(x^4 - 5x^2 + 4\) на множители.
Пусть \(x^2 = t\), тогда \(x^4 = t^2\) и
\[x^4 - 5x^2 + 4 = t^2 - 5t + 4.\]
Для уравнения \(t^2 - 5t + 4 = 0\) дискриминант \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9\) положителен, \(\sqrt{D} = 3\):
\[\begin{aligned} t_1 &= \frac{5 - 3}{2} = 1; \\ t_2 &= \frac{5 + 3}{2} = 4. \end{aligned}\]
\(t^2 - 5t + 4 = (t - 1)(t - 4)\). Вернёмся к переменной \(x\):
\[x^4 - 5x^2 + 4 = (x^2 - 1)(x^2 - 4).\]
\(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\);
\(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\). Значит,
\[x^4 - 5x^2 + 4 = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2).\]
Ответ: \(x^4 - 5x^2 + 4 = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)\).
Разложите многочлен \(x^4 - 5x^2 + 4\) на множители.
Сделаем замену переменной: пусть \(x^2 = t\). Тогда \(x^4 = t^2\) и \[x^4 - 5x^2 + 4 = t^2 - 5t + 4.\] Найдём корни уравнения \(t^2 - 5t + 4 = 0\). Его дискриминант \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9\) положителен, \(\sqrt{D} = 3\): \[\begin{aligned} t_1 &= \frac{5 - 3}{2} = 1; \\ t_2 &= \frac{5 + 3}{2} = 4. \end{aligned}\] Воспользуемся формулой \(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\): \(t^2 - 5t + 4 = (t - 1)(t - 4)\). Вернёмся к переменной \(x\): \[x^4 - 5x^2 + 4 = (x^2 - 1)(x^2 - 4).\] Каждый из множителей разложим по формуле разности квадратов: \(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\) и \(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\). Значит, \[x^4 - 5x^2 + 4 = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2).\]
Ответ: \(x^4 - 5x^2 + 4 = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)\).
