Страница 105 номер 555, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
На какое наибольшее натуральное число делится \(3n^2 + 9n + 6\) при любом натуральном \(n\)?
\[3n^2 + 9n + 6 = 3(n^2 + 3n + 2).\] Дискриминант уравнения \(n^2 + 3n + 2 = 0\) равен \(3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1\), корни: \[\begin{aligned} n_1 &= \frac{-3 - 1}{2} = -2; \\ n_2 &= \frac{-3 + 1}{2} = -1. \end{aligned}\] Следовательно, \(n^2 + 3n + 2 = (n + 2)(n + 1)\) и \[3n^2 + 9n + 6 = 3(n + 1)(n + 2).\] При натуральном \(n\) числа \(n + 1\) и \(n + 2\) — последовательные натуральные, одно из них чётное, поэтому \(3(n + 1)(n + 2)\) делится на \(3 \cdot 2 = 6\).
\(3 \cdot 2 \cdot 3 = 18\) — значение выражения при \(n = 1\).
\(3 \cdot 4 \cdot 5 = 60\) — значение выражения при \(n = 3\).
Натуральное число, на которое выражение делится при любом натуральном \(n\), — делитель и 18, и 60, а значит, и чисел \(3 \cdot 18 = 54\) и \(60 - 54 = 6\), поэтому оно не больше 6.
Значит, наибольшее такое число — 6.
Ответ: на 6.
На какое наибольшее натуральное число делится \(3n^2 + 9n + 6\) при любом натуральном \(n\)?
Вынесем общий множитель 3 за скобку: \[3n^2 + 9n + 6 = 3(n^2 + 3n + 2).\] Разложим на множители трёхчлен \(n^2 + 3n + 2\). Дискриминант уравнения \(n^2 + 3n + 2 = 0\) равен \(3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1\), его корни: \[\begin{aligned} n_1 &= \frac{-3 - 1}{2} = -2; \\ n_2 &= \frac{-3 + 1}{2} = -1. \end{aligned}\] Следовательно, \(n^2 + 3n + 2 = (n + 2)(n + 1)\) и \[3n^2 + 9n + 6 = 3(n + 1)(n + 2).\] Если число \(n\) натуральное, то \((n + 1)(n + 2)\) — произведение двух последовательных натуральных чисел. Одно из них чётное, поэтому произведение делится на 2, а число \(3(n + 1)(n + 2)\) делится на \(3 \cdot 2 = 6\). Значит, при любом натуральном \(n\) число \(3n^2 + 9n + 6\) делится на 6.
Покажем, что большего натурального числа с таким свойством нет. При \(n = 1\) значение выражения равно \(3 \cdot 2 \cdot 3 = 18\), а при \(n = 3\) — \(3 \cdot 4 \cdot 5 = 60\). Натуральное число, на которое выражение делится при любом натуральном \(n\), должно быть делителем и числа 18, и числа 60. Тогда оно является делителем и числа \(3 \cdot 18 = 54\), и разности \(60 - 54 = 6\), а значит, не больше 6.
Следовательно, наибольшее натуральное число, на которое \(3n^2 + 9n + 6\) делится при любом натуральном \(n\), — это 6.
Ответ: на 6.
