Страница 105 номер 554, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Разложите многочлен \(x^4 - 2x^2 + 1\) на множители.
Пусть \(x^2 = t\), тогда \(x^4 = t^2\) и \[x^4 - 2x^2 + 1 = t^2 - 2t + 1.\] Дискриминант уравнения \(t^2 - 2t + 1 = 0\) равен \((-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 0\) — корень единственный.
\(t_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1\), поэтому \[t^2 - 2t + 1 = (t - 1)^2.\] Вернёмся к переменной \(x\): \(x^4 - 2x^2 + 1 = (x^2 - 1)^2\).
\(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\), значит, \[x^4 - 2x^2 + 1 = \left((x - 1)(x + 1)\right)^2 = (x - 1)^2(x + 1)^2.\]
Ответ: \(x^4 - 2x^2 + 1 = (x - 1)^2(x + 1)^2\).
Разложите многочлен \(x^4 - 2x^2 + 1\) на множители.
Сделаем замену переменной: пусть \(x^2 = t\). Тогда \(x^4 = t^2\) и \[x^4 - 2x^2 + 1 = t^2 - 2t + 1.\] Дискриминант уравнения \(t^2 - 2t + 1 = 0\) равен \((-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 0\). Следовательно, это уравнение имеет единственный корень \(t_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1\) и верно равенство \[t^2 - 2t + 1 = (t - 1)^2.\] Вернёмся к переменной \(x\): \(x^4 - 2x^2 + 1 = (x^2 - 1)^2\). Многочлен \(x^2 - 1\) разложим по формуле разности квадратов: \(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\). Значит, \[x^4 - 2x^2 + 1 = \left((x - 1)(x + 1)\right)^2 = (x - 1)^2(x + 1)^2.\]
Ответ: \(x^4 - 2x^2 + 1 = (x - 1)^2(x + 1)^2\).
