Страница 105 номер 553, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Дано:
\(v_1 = v_2 + 5\) (км/ч) — скорости велосипедиста и пешехода
\(t_1 = 7\) ч — время движения велосипедиста
\(t_2 = t_1 - 3\) (ч) — время движения пешехода
\(s = 65\) км — расстояние между ними через \(t_1\) ч
направления движения взаимно перпендикулярны

Найти: \(v_1\) — скорость велосипедиста.

Решение:

Пусть \(v_1 = x\) км/ч, тогда скорость пешехода \(v_2 = x - 5\) км/ч. Велосипедист за 7 ч проехал \(7x\) км. Пешеход был в пути \(7 - 3 = 4\) (ч) и прошёл \(4(x - 5)\) км.

Велосипедист и пешеход двигались из одной точки во взаимно перпендикулярных направлениях, поэтому точка старта и их местоположения через 7 ч после старта велосипедиста — вершины прямоугольного треугольника. Его катеты равны \(7x\) км и \(4(x - 5)\) км, а гипотенуза — 65 км. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Составим уравнение, раскроем скобки, перенесём все слагаемые в левую часть, приведём подобные слагаемые и разделим обе части на 5: \[\begin{aligned} (7x)^2 + (4(x - 5))^2 &= 65^2; \\ 49x^2 + 16(x^2 - 10x + 25) &= 4225; \\ 65x^2 - 160x - 3825 &= 0; \qquad | : 5 \\ 13x^2 - 32x - 765 &= 0. \end{aligned}\] Коэффициент при \(x\) чётный, \(k = -16\): \[D_1 = (-16)^2 - 13 \cdot (-765) = 256 + 9945 = 10\,201.\] Дискриминант положителен, \(\sqrt{D_1} = 101\), так как \(101^2 = 10\,201\). Найдём корни: \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{16 - 101}{13} = -\frac{85}{13}; \\ x_2 &= \frac{16 + 101}{13} = \frac{117}{13} = 9. \end{aligned}\] Скорость может принимать только положительные значения, поэтому корень \(-\frac{85}{13}\) не подходит. Значит, скорость велосипедиста — 9 км/ч; скорость пешехода \(9 - 5 = 4\) (км/ч) — тоже положительное число.

Проверка: велосипедист за 7 ч проехал \(7 \cdot 9 = 63\) (км), пешеход за 4 ч прошёл \(4 \cdot 4 = 16\) (км); \(63^2 + 16^2 = 3969 + 256 = 4225 = 65^2\), то есть расстояние между ними — 65 км, как в условии.

Ответ: 9 км/ч.