Страница 105 номер 552, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Сколько сторон у выпуклого многоугольника, если число его сторон равно числу диагоналей?
Пусть у многоугольника \(n\) сторон, тогда и вершин \(n\), причём \(n \geqslant 3\). Из каждой вершины выходит \(n - 3\) диагоналей — ко всем вершинам, кроме неё самой и двух соседних. В сумме \(n(n - 3)\) каждая диагональ посчитана дважды — у обоих её концов, поэтому диагоналей \(\frac{n(n - 3)}{2}\). \[\begin{aligned} \frac{n(n - 3)}{2} &= n; \qquad | \cdot 2 \\ n(n - 3) &= 2n; \\ n^2 - 5n &= 0; \\ n(n - 5) &= 0. \end{aligned}\] \(n = 0\) или \(n = 5\). Число сторон многоугольника не меньше 3, поэтому корень 0 не подходит и \(n = 5\).
Проверка: у пятиугольника из каждой вершины выходит \(5 - 3 = 2\) диагонали, всего диагоналей \(\frac{5 \cdot 2}{2} = 5\) — столько же, сколько сторон.
Ответ: 5 сторон.
Сколько сторон у выпуклого многоугольника, если число его сторон равно числу диагоналей?
Пусть у многоугольника \(n\) сторон, тогда у него \(n\) вершин, причём \(n \geqslant 3\). Диагональ соединяет две вершины многоугольника, не являющиеся соседними. Из каждой вершины выходит \(n - 3\) диагоналей — ко всем вершинам, кроме неё самой и двух соседних с ней. Если сложить числа диагоналей, выходящих из всех \(n\) вершин, получится \(n(n - 3)\), но при этом каждая диагональ посчитана дважды — у каждого из двух её концов. Значит, у многоугольника \(\frac{n(n - 3)}{2}\) диагоналей.
Число диагоналей равно числу сторон. Составим уравнение, умножим обе его части на 2, раскроем скобки, перенесём все слагаемые в левую часть и вынесем общий множитель \(n\) за скобки: \[\begin{aligned} \frac{n(n - 3)}{2} &= n; \qquad | \cdot 2 \\ n(n - 3) &= 2n; \\ n^2 - 5n &= 0; \\ n(n - 5) &= 0. \end{aligned}\] Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \(n = 0\) или \(n = 5\). Число сторон многоугольника не меньше 3, поэтому корень 0 не подходит и \(n = 5\).
Проверка: у пятиугольника из каждой вершины выходит \(5 - 3 = 2\) диагонали, всего диагоналей \(\frac{5 \cdot 2}{2} = 5\) — столько же, сколько сторон.
Ответ: 5 сторон.
