Страница 105 номер 551, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
В однокруговом шахматном турнире (любые два игрока играют друг с другом ровно один раз) было сыграно 78 партий. Сколько человек участвовало в соревновании?
Пусть участников \(n\), каждый сыграл \(n - 1\) партий. В сумме \(n(n - 1)\) каждая партия посчитана дважды — у обоих её участников, поэтому всего сыграно \(\frac{n(n - 1)}{2}\) партий. \[\begin{aligned} \frac{n(n - 1)}{2} &= 78; \qquad | \cdot 2 \\ n(n - 1) &= 156; \\ n^2 - n - 156 &= 0; \\ D &= (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-156) = 1 + 624 = 625. \end{aligned}\] Дискриминант положителен, \(\sqrt{D} = 25\): \[\begin{aligned} n_1 &= \frac{1 - 25}{2} = -12; \\ n_2 &= \frac{1 + 25}{2} = 13. \end{aligned}\] Число участников натуральное, поэтому корень \(-12\) не подходит; участвовало 13 человек.
Проверка: \(\frac{13 \cdot 12}{2} = 78\) партий, как в условии.
Ответ: 13 человек.
В однокруговом шахматном турнире (любые два игрока играют друг с другом ровно один раз) было сыграно 78 партий. Сколько человек участвовало в соревновании?
Пусть в турнире участвовало \(n\) человек. Каждый участник сыграл по одной партии с каждым из остальных \(n - 1\) участников, то есть сыграл \(n - 1\) партий. Если сложить числа партий, сыгранных всеми \(n\) участниками, получится \(n(n - 1)\), но при этом каждая партия посчитана дважды — у каждого из двух её участников. Значит, всего в турнире сыграно \(\frac{n(n - 1)}{2}\) партий.
Всего было сыграно 78 партий. Составим уравнение, умножим обе его части на 2, раскроем скобки и перенесём все слагаемые в левую часть: \[\begin{aligned} \frac{n(n - 1)}{2} &= 78; \qquad | \cdot 2 \\ n(n - 1) &= 156; \\ n^2 - n - 156 &= 0. \end{aligned}\] Найдём дискриминант получившегося квадратного уравнения: \[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-156) = 1 + 624 = 625.\] Дискриминант положителен, \(\sqrt{D} = 25\). Найдём корни: \[\begin{aligned} n_1 &= \frac{1 - 25}{2} = -12; \\ n_2 &= \frac{1 + 25}{2} = 13. \end{aligned}\] Число участников — натуральное число, поэтому корень \(-12\) не подходит и в турнире участвовало 13 человек.
Проверка: каждый из 13 участников сыграл 12 партий, всего сыграно \(\frac{13 \cdot 12}{2} = 78\) партий, как в условии.
Ответ: 13 человек.
