Страница 105 номер 548, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \((a + 1)x^2 + 3 = 0\) имеет два корня?
При \(a = -1\) уравнение принимает вид \(0 \cdot x^2 + 3 = 0\). Его левая часть равна 3 при любом \(x\), поэтому корней нет, и это значение параметра не подходит.
При \(a \neq -1\): \[\begin{aligned} (a + 1)x^2 + 3 &= 0; \\ (a + 1)x^2 &= -3; \qquad | : (a + 1) \\ x^2 &= -\frac{3}{a + 1}. \end{aligned}\] Уравнение имеет два корня, если число \(-\frac{3}{a + 1}\) положительно; нулю оно не равно ни при каком \(a\). Числитель дроби \(\frac{3}{a + 1}\) положителен, поэтому \(-\frac{3}{a + 1} > 0\) тогда и только тогда, когда \(\frac{3}{a + 1} < 0\), то есть когда \(a + 1 < 0\). Значит, уравнение имеет два корня при \(a < -1\).
Ответ: при \(a < -1\).
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \((a + 1)x^2 + 3 = 0\) имеет два корня?
При \(a = -1\) уравнение принимает вид \(0 \cdot x^2 + 3 = 0\). Его левая часть равна 3 при любом \(x\), поэтому корней нет, и это значение параметра не подходит.
При \(a \neq -1\) перенесём 3 в правую часть и разделим обе части уравнения на \(a + 1\): \[\begin{aligned} (a + 1)x^2 + 3 &= 0; \\ (a + 1)x^2 &= -3; \qquad | : (a + 1) \\ x^2 &= -\frac{3}{a + 1}. \end{aligned}\] Это уравнение имеет два корня, если число \(-\frac{3}{a + 1}\) положительно, и не имеет корней, если оно отрицательно; нулю это число не равно ни при каком \(a\). Числитель дроби \(\frac{3}{a + 1}\) положителен, поэтому \(-\frac{3}{a + 1} > 0\) тогда и только тогда, когда \(\frac{3}{a + 1} < 0\), то есть когда \(a + 1 < 0\). Значит, уравнение имеет два корня при \(a < -1\).
Ответ: при \(a < -1\).
