Страница 105 номер 547, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(x^2 + a^2 - 4 = 0\) имеет два различных корня?
Уравнение \(x^2 = 4 - a^2\) имеет два различных корня \(-\sqrt{4 - a^2}\) и \(\sqrt{4 - a^2}\), если \(4 - a^2 > 0\); единственный корень \(0\), если \(4 - a^2 = 0\); не имеет корней, если \(4 - a^2 < 0\). Значит, нужны значения \(a\), при которых \(4 - a^2 > 0\), то есть \(a^2 < 4\).
Числа \(a^2\) и 4 неотрицательны, поэтому неравенство \(a^2 < 4\) равносильно неравенству \(\sqrt{a^2} < \sqrt{4}\), то есть \(|a| < 2\), откуда \(-2 < a < 2\).
Ответ: при \(-2 < a < 2\).
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(x^2 + a^2 - 4 = 0\) имеет два различных корня?
Приведём уравнение к виду \(x^2 = 4 - a^2\). Такое уравнение имеет два различных корня \(-\sqrt{4 - a^2}\) и \(\sqrt{4 - a^2}\), если \(4 - a^2 > 0\); единственный корень \(0\), если \(4 - a^2 = 0\); не имеет корней, если \(4 - a^2 < 0\). Значит, нужно найти все значения \(a\), при которых \(4 - a^2 > 0\), то есть \(a^2 < 4\).
Числа \(a^2\) и 4 неотрицательны, а из двух неотрицательных чисел меньше то, у которого меньше арифметический квадратный корень. Поэтому неравенство \(a^2 < 4\) равносильно неравенству \(\sqrt{a^2} < \sqrt{4}\), то есть \(|a| < 2\), откуда \(-2 < a < 2\).
Ответ: при \(-2 < a < 2\).
