Страница 105 номер 545, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(x^4 + 8ax^2 + a^2 - 16 = 0\) имеет ровно три корня?
Пусть \(x^2 = t\), тогда \[\begin{aligned} t^2 + 8at + a^2 - 16 &= 0; \\ D &= (8a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - 16) = 64a^2 - 4a^2 + 64 = 60a^2 + 64. \end{aligned}\] Дискриминант положителен при любом \(a\), поэтому уравнение относительно \(t\) имеет два различных корня.
Уравнение \(x^2 = t\) имеет два корня при \(t > 0\), один корень при \(t = 0\) и не имеет корней при \(t < 0\). Различным значениям \(t\) соответствуют различные значения \(x\), поэтому исходное уравнение имеет ровно три корня тогда и только тогда, когда один из корней уравнения \(t^2 + 8at + a^2 - 16 = 0\) равен нулю, а другой положителен.
Если один из корней равен нулю, то \(a^2 - 16 = 0\), откуда \(a = -4\) или \(a = 4\).
При \(a = 4\) получаем \(t^2 + 32t = 0\) с корнями \(-32\) и \(0\), тогда исходное уравнение имеет единственный корень \(x = 0\) — это значение параметра не подходит.
При \(a = -4\) получаем \(t^2 - 32t = 0\) с корнями \(0\) и \(32\), тогда \(x^2 = 0\) или \(x^2 = 32\), и исходное уравнение имеет ровно три корня: \(-4\sqrt{2}\), \(0\) и \(4\sqrt{2}\).
Ответ: при \(a = -4\).
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(x^4 + 8ax^2 + a^2 - 16 = 0\) имеет ровно три корня?
Пусть \(x^2 = t\). Тогда уравнение принимает вид \[t^2 + 8at + a^2 - 16 = 0.\] Найдём дискриминант этого уравнения: \[D = (8a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - 16) = 64a^2 - 4a^2 + 64 = 60a^2 + 64.\] Дискриминант положителен при любых значениях \(a\), поэтому квадратное уравнение относительно переменной \(t\) имеет два различных корня.
Заметим, что уравнение \(x^2 = t\):
- имеет два корня при \(t > 0\);
- имеет один корень при \(t = 0\);
- не имеет корней при \(t < 0\).
Различным значениям \(t\) соответствуют различные значения \(x\). Поэтому исходное уравнение имеет ровно три корня тогда и только тогда, когда один из корней уравнения \(t^2 + 8at + a^2 - 16 = 0\) равен нулю, а другой при этом положителен.
Если один из корней этого уравнения равен нулю, то \(a^2 - 16 = 0\), откуда \(a = -4\) или \(a = 4\).
При \(a = 4\) получаем уравнение \(t^2 + 32t = 0\), корнями которого являются числа \(-32\) и \(0\). Тогда исходное уравнение имеет единственный корень \(x = 0\), и это значение параметра не подходит.
При \(a = -4\) получаем уравнение \(t^2 - 32t = 0\) с корнями \(0\) и \(32\). Тогда \(x^2 = 0\) или \(x^2 = 32\), и исходное уравнение имеет ровно три корня: \(-4\sqrt{2}\), \(0\) и \(4\sqrt{2}\).
Ответ: при \(a = -4\).
