Страница 105 номер 544, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение \(yx^2 - 48y - 6 + 2xy + x = 0\) относительно \(x\).
\[yx^2 + (2y + 1)x - 48y - 6 = 0.\] При \(y = 0\) уравнение принимает вид \(x - 6 = 0\), откуда \(x = 6\).
При \(y \neq 0\) уравнение квадратное, и \(x = 6\) — его корень при любом таком \(y\): \[y \cdot 6^2 + (2y + 1) \cdot 6 - 48y - 6 = 36y + 12y + 6 - 48y - 6 = 0.\] По теореме Виета произведение корней равно \(\frac{-48y - 6}{y}\), поэтому второй корень равен \(\frac{-48y - 6}{6y} = -\frac{8y + 1}{y}\).
Проверка: по сумме корней \(6 - \frac{8y + 1}{y} = \frac{6y - 8y - 1}{y} = -\frac{2y + 1}{y}\) — отношение коэффициента при \(x\) к старшему коэффициенту, взятое с противоположным знаком.
Если \(-\frac{8y + 1}{y} = 6\), то \(-8y - 1 = 6y\), откуда \(y = -\frac{1}{14}\), и уравнение имеет единственный корень \(x = 6\).
Если \(-\frac{8y + 1}{y} \neq 6\), то есть \(y \neq -\frac{1}{14}\), уравнение имеет два различных корня: \(x = 6\) и \(x = -\frac{8y + 1}{y}\).
Ответ: \(x = 6\) при \(y = -\frac{1}{14}\) и \(y = 0\); \(x = -\frac{8y + 1}{y}\) и \(x = 6\) при всех остальных значениях \(y\).
Решите уравнение \(yx^2 - 48y - 6 + 2xy + x = 0\) относительно \(x\).
Преобразуем уравнение, сгруппировав слагаемые по степеням \(x\): \[yx^2 + (2y + 1)x - 48y - 6 = 0.\] При \(y = 0\) уравнение принимает вид \(x - 6 = 0\), откуда \(x = 6\).
При \(y \neq 0\) уравнение является квадратным. Заметим, что оно имеет корень \(x = 6\) при любом таком \(y\): \[y \cdot 6^2 + (2y + 1) \cdot 6 - 48y - 6 = 36y + 12y + 6 - 48y - 6 = 0.\] Тогда по теореме Виета произведение корней равно \(\frac{-48y - 6}{y}\), поэтому второй корень равен \(\frac{-48y - 6}{6y} = -\frac{8y + 1}{y}\). Проверка по сумме корней: \(6 - \frac{8y + 1}{y} = \frac{6y - 8y - 1}{y} = -\frac{2y + 1}{y}\) — это отношение коэффициента при \(x\) к старшему коэффициенту, взятое с противоположным знаком.
Если \(-\frac{8y + 1}{y} = 6\), то \(-8y - 1 = 6y\), откуда \(y = -\frac{1}{14}\), и уравнение имеет единственный корень \(x = 6\).
Если \(-\frac{8y + 1}{y} \neq 6\), то есть \(y \neq -\frac{1}{14}\), уравнение имеет два различных корня: \(x = 6\) и \(x = -\frac{8y + 1}{y}\).
Ответ: \(x = 6\) при \(y = -\frac{1}{14}\) и \(y = 0\); \(x = -\frac{8y + 1}{y}\) и \(x = 6\) при всех остальных значениях \(y\).
