Страница 105 номер 543, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение: а) \(x^4 = (3x + 10)^2\); б) \(x^4 - 145x^2 + 144 = 0\); в) \(4(x - 7)^4 - 20(x - 7)^2 + 16 = 0\); г) \(x - 7\sqrt{x - 5} + 5 = 0\).
а) \(x^4 = (x^2)^2\), поэтому
\[\begin{aligned} (x^2)^2 - (3x + 10)^2 &= 0; \\ (x^2 - 3x - 10)(x^2 + 3x + 10) &= 0; \\ x^2 - 3x - 10 &= 0 \quad \text{или} \quad x^2 + 3x + 10 = 0. \end{aligned}\]
\(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 9 - 40 = -31\) — дискриминант уравнения \(x^2 + 3x + 10 = 0\) отрицателен, значит, корней нет.
По теореме, обратной теореме Виета, корни уравнения \(x^2 - 3x - 10 = 0\) — числа \(-2\) и \(5\): \(-2 + 5 = 3\), \((-2) \cdot 5 = -10\). Значит, исходное уравнение имеет два корня: \(-2\) и \(5\).
б) Пусть \(x^2 = t\), тогда \[t^2 - 145t + 144 = 0.\] Сумма коэффициентов \(1 - 145 + 144 = 0\), поэтому \(t = 1\) — корень; по теореме Виета второй корень равен \(144 : 1 = 144\). Значит, \[x^2 = 1 \quad \text{или} \quad x^2 = 144.\] Из первого уравнения \(x = -1\) или \(x = 1\), из второго — \(x = -12\) или \(x = 12\).
в) \[\begin{aligned} 4(x - 7)^4 - 20(x - 7)^2 + 16 &= 0; \qquad | : 4 \\ (x - 7)^4 - 5(x - 7)^2 + 4 &= 0. \end{aligned}\] Пусть \((x - 7)^2 = t\), тогда \[t^2 - 5t + 4 = 0.\] Сумма коэффициентов \(1 - 5 + 4 = 0\), поэтому \(t = 1\) — корень; по теореме Виета второй корень равен 4. Оба значения положительны, поэтому \[(x - 7)^2 = 1 \quad \text{или} \quad (x - 7)^2 = 4.\] Из первого уравнения \(x - 7 = -1\) или \(x - 7 = 1\), то есть \(x = 6\) или \(x = 8\); из второго \(x - 7 = -2\) или \(x - 7 = 2\), то есть \(x = 5\) или \(x = 9\).
г) \(\sqrt{x - 5}\) имеет смысл при \(x \geqslant 5\). Пусть \(\sqrt{x - 5} = t\), где \(t \geqslant 0\). По определению арифметического квадратного корня \(t^2 = x - 5\), откуда \(x = t^2 + 5\), и уравнение примет вид \[\begin{aligned} t^2 + 5 - 7t + 5 &= 0; \\ t^2 - 7t + 10 &= 0. \end{aligned}\] По теореме, обратной теореме Виета, его корни — 2 и 5: \(2 + 5 = 7\), \(2 \cdot 5 = 10\). Оба корня неотрицательны, поэтому подходят оба значения \(t\).
Если \(\sqrt{x - 5} = 2\), то \(x - 5 = 4\) и \(x = 9\).
Если \(\sqrt{x - 5} = 5\), то \(x - 5 = 25\) и \(x = 30\).
Проверка: \(9 - 7\sqrt{9 - 5} + 5 = 9 - 14 + 5 = 0\);
\(30 - 7\sqrt{30 - 5} + 5 = 30 - 35 + 5 = 0\).
Ответ: а) \(-2\); \(5\); б) \(-12\); \(-1\); \(1\); \(12\); в) \(5\); \(6\); \(8\); \(9\); г) \(9\); \(30\).
Решите уравнение: а) \(x^4 = (3x + 10)^2\); б) \(x^4 - 145x^2 + 144 = 0\); в) \(4(x - 7)^4 - 20(x - 7)^2 + 16 = 0\); г) \(x - 7\sqrt{x - 5} + 5 = 0\).
а) В обеих частях уравнения находятся полные квадраты: \(x^4 = (x^2)^2\). Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения и применим формулу разности квадратов: \[\begin{aligned} (x^2)^2 - (3x + 10)^2 &= 0; \\ (x^2 - 3x - 10)(x^2 + 3x + 10) &= 0; \\ x^2 - 3x - 10 &= 0 \quad \text{или} \quad x^2 + 3x + 10 = 0. \end{aligned}\] Получившиеся уравнения являются квадратными. Дискриминант уравнения \(x^2 + 3x + 10 = 0\) отрицателен: \(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 9 - 40 = -31\), — значит, это уравнение корней не имеет. По теореме, обратной теореме Виета, корнями уравнения \(x^2 - 3x - 10 = 0\) являются числа \(-2\) и \(5\): \(-2 + 5 = 3\), \((-2) \cdot 5 = -10\). Таким образом, исходное уравнение имеет два корня: \(-2\) и \(5\).
б) Сделаем замену переменной \(x^2 = t\). Уравнение примет вид \[t^2 - 145t + 144 = 0.\] Сумма коэффициентов этого уравнения равна нулю: \(1 - 145 + 144 = 0\), поэтому одним из его корней является число 1. По теореме Виета второй корень равен \(144 : 1 = 144\). Поскольку \(x^2 = t\), получаем, что \[x^2 = 1 \quad \text{или} \quad x^2 = 144.\] Из первого уравнения \(x = -1\) или \(x = 1\), из второго — \(x = -12\) или \(x = 12\).
в) Разделим обе части уравнения на 4: \[\begin{aligned} 4(x - 7)^4 - 20(x - 7)^2 + 16 &= 0; \qquad | : 4 \\ (x - 7)^4 - 5(x - 7)^2 + 4 &= 0. \end{aligned}\] Пусть \((x - 7)^2 = t\). Тогда уравнение принимает вид \[t^2 - 5t + 4 = 0.\] Сумма коэффициентов равна нулю: \(1 - 5 + 4 = 0\), поэтому \(t = 1\) — корень уравнения; по теореме Виета второй корень равен 4. Оба значения положительны, поэтому \[(x - 7)^2 = 1 \quad \text{или} \quad (x - 7)^2 = 4.\] Из первого уравнения \(x - 7 = -1\) или \(x - 7 = 1\), то есть \(x = 6\) или \(x = 8\); из второго \(x - 7 = -2\) или \(x - 7 = 2\), то есть \(x = 5\) или \(x = 9\).
г) Выражение \(\sqrt{x - 5}\) имеет смысл при \(x \geqslant 5\). Пусть \(\sqrt{x - 5} = t\), где \(t \geqslant 0\). По определению арифметического квадратного корня \(t^2 = x - 5\), откуда \(x = t^2 + 5\). Подставим это выражение в уравнение: \[\begin{aligned} t^2 + 5 - 7t + 5 &= 0; \\ t^2 - 7t + 10 &= 0. \end{aligned}\] По теореме, обратной теореме Виета, корнями этого уравнения являются числа 2 и 5: \(2 + 5 = 7\), \(2 \cdot 5 = 10\). Оба корня неотрицательны, поэтому подходят оба значения \(t\). Вернёмся к переменной \(x\): если \(\sqrt{x - 5} = 2\), то \(x - 5 = 4\) и \(x = 9\); если \(\sqrt{x - 5} = 5\), то \(x - 5 = 25\) и \(x = 30\).
Проверка: подставим найденные значения в исходное уравнение: \(9 - 7\sqrt{9 - 5} + 5 = 9 - 14 + 5 = 0\);
\(30 - 7\sqrt{30 - 5} + 5 = 30 - 35 + 5 = 0\).
Ответ: а) \(-2\); \(5\); б) \(-12\); \(-1\); \(1\); \(12\); в) \(5\); \(6\); \(8\); \(9\); г) \(9\); \(30\).
