Страница 105 номер 542, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Дано уравнение \(5x^2 - 10x - 18 = 0\). Не вычисляя его корней \(x_1\) и \(x_2\), найдите значение выражения \(x_1^2 + 7x_1x_2 + x_2^2\).
\(\frac{c}{a} = -\frac{18}{5} < 0\), значит, \(ac < 0\) и \(D = b^2 - 4ac > 0\) — два различных корня. По теореме Виета \[\begin{aligned} x_1 + x_2 &= -\frac{-10}{5} = 2, \\ x_1x_2 &= -\frac{18}{5}. \end{aligned}\] Выделим квадрат суммы: \[\begin{aligned} &x_1^2 + 7x_1x_2 + x_2^2 = (x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2) + 5x_1x_2 = {} \\ &= (x_1 + x_2)^2 + 5x_1x_2 = 2^2 + 5 \cdot \left(-\frac{18}{5}\right) = 4 - 18 = -14. \end{aligned}\]
Ответ: \(-14\).
Дано уравнение \(5x^2 - 10x - 18 = 0\). Не вычисляя его корней \(x_1\) и \(x_2\), найдите значение выражения \(x_1^2 + 7x_1x_2 + x_2^2\).
Число \(\frac{c}{a} = -\frac{18}{5}\) отрицательно. Тогда \(ac < 0\) и \(D = b^2 - 4ac > 0\), поэтому уравнение имеет два различных корня \(x_1\) и \(x_2\). Запишем для него формулы Виета: \[\begin{aligned} x_1 + x_2 &= -\frac{-10}{5} = 2, \\ x_1x_2 &= -\frac{18}{5}. \end{aligned}\] Преобразуем выражение, выделив квадрат суммы: \[\begin{aligned} &x_1^2 + 7x_1x_2 + x_2^2 = (x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2) + 5x_1x_2 = {} \\ &= (x_1 + x_2)^2 + 5x_1x_2 = 2^2 + 5 \cdot \left(-\frac{18}{5}\right) = 4 - 18 = -14. \end{aligned}\]
Ответ: \(-14\).
