Страница 98 номер 490, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
А) \(D = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 121 - 100 = 21 > 0\) — два корня. По теореме Виета их произведение равно 25, значит, корни одного знака, а их сумма равна \(-11\), значит, оба корня отрицательны. Уравнению А соответствует утверждение 2).
Б) \(D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 23 = 121 - 92 = 29 > 0\) — два корня. По теореме Виета их произведение равно 23, значит, корни одного знака, а их сумма равна 11, значит, оба корня положительны. Уравнению Б соответствует утверждение 1).
В) Свободный член \(-23\) отрицателен, поэтому уравнение имеет два корня разных знаков. Уравнению В соответствует утверждение 3).
Г) Свободный член \(-25\) отрицателен, поэтому уравнение имеет два корня разных знаков. Уравнению Г соответствует утверждение 3).
Д) \(D = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot 38 = 121 - 152 = -31 < 0\) — корней нет. Уравнению Д соответствует утверждение 4).
Ответ: А — 2) оба корня уравнения отрицательны; Б — 1) оба корня уравнения положительны; В — 3) корни уравнения имеют разные знаки; Г — 3) корни уравнения имеют разные знаки; Д — 4) уравнение не имеет корней.
Знаки корней приведённого уравнения \(x^2 + px + q = 0\) определим по формулам Виета: если уравнение имеет корни, то их произведение равно \(q\), а сумма равна \(-p\). Если \(q < 0\), то уравнение имеет два корня разных знаков. Если \(q > 0\), то при \(D < 0\) корней нет, а при \(D > 0\) уравнение имеет два корня одного знака — противоположного знаку \(p\).
А) Свободный член 25 положителен, поэтому найдём дискриминант: \[D = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 121 - 100 = 21.\] Поскольку \(D > 0\), уравнение имеет два корня. Их произведение равно 25, значит, корни одного знака, а их сумма равна \(-11\), значит, оба корня отрицательны. Уравнению А соответствует утверждение 2).
Б) Свободный член 23 положителен, поэтому найдём дискриминант: \[D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 23 = 121 - 92 = 29.\] Поскольку \(D > 0\), уравнение имеет два корня. Их произведение равно 23, значит, корни одного знака, а их сумма равна 11, значит, оба корня положительны. Уравнению Б соответствует утверждение 1).
В) Свободный член \(-23\) отрицателен, поэтому уравнение имеет два корня разных знаков. Уравнению В соответствует утверждение 3).
Г) Свободный член \(-25\) отрицателен, поэтому уравнение имеет два корня разных знаков. Уравнению Г соответствует утверждение 3).
Д) Свободный член 38 положителен, поэтому найдём дискриминант: \[D = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot 38 = 121 - 152 = -31.\] Поскольку \(D < 0\), уравнение не имеет корней. Уравнению Д соответствует утверждение 4).
Ответ: А — 2) оба корня уравнения отрицательны; Б — 1) оба корня уравнения положительны; В — 3) корни уравнения имеют разные знаки; Г — 3) корни уравнения имеют разные знаки; Д — 4) уравнение не имеет корней.
