Страница 97 номер 482, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Составьте приведённое квадратное уравнение, сумма корней которого равна \(-10\) и произведение равно \(25\).
Пусть \(x_1\) и \(x_2\) — корни уравнения \(x^2 + px + q = 0\). По теореме Виета \(x_1 + x_2 = -p\) и \(x_1x_2 = q\), а по условию \(x_1 + x_2 = -10\) и \(x_1x_2 = 25\). Значит, \(-p = -10\), откуда \(p = 10\), и \(q = 25\), то есть искомое уравнение — \(x^2 + 10x + 25 = 0\).
Проверка: \(D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 100 - 100 = 0\) — единственный корень.
\(x_0 = -\frac{10}{2} = -5\) — корень кратности два.
Считая, что \(x_1 = x_2 = -5\), получаем \(x_1 + x_2 = -5 + (-5) = -10\) и \(x_1x_2 = -5 \cdot (-5) = 25\), как и требуется в условии.
Ответ: \(x^2 + 10x + 25 = 0\).
Составьте приведённое квадратное уравнение, сумма корней которого равна \(-10\) и произведение равно \(25\).
Пусть \(x_1\) и \(x_2\) — корни искомого уравнения \(x^2 + px + q = 0\). По теореме Виета \(x_1 + x_2 = -p\) и \(x_1x_2 = q\), а по условию \(x_1 + x_2 = -10\) и \(x_1x_2 = 25\). Значит, \(-p = -10\), откуда \(p = 10\), и \(q = 25\), то есть искомое уравнение — \(x^2 + 10x + 25 = 0\).
Проверим, что это уравнение имеет корни с такими суммой и произведением. Найдём дискриминант: \[D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 100 - 100 = 0.\] Дискриминант равен нулю, поэтому уравнение имеет единственный корень \(x_0 = -\frac{10}{2} = -5\) — корень кратности два. Считая, что \(x_1 = x_2 = -5\), получаем \(x_1 + x_2 = -5 + (-5) = -10\) и \(x_1x_2 = -5 \cdot (-5) = 25\), как и требуется в условии.
Ответ: \(x^2 + 10x + 25 = 0\).
