Страница 97 номер 477, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Разложите на линейные множители: а) \(x^2 + 10x + 24\); б) \(x^2 + 18x + 81\).
а) \(D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4 > 0\) — два корня. \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{-10 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 - 2}{2} = -6; \\ x_2 &= \frac{-10 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 2}{2} = -4; \\ x^2 + 10x + 24 &= (x - (-6))(x - (-4)) = (x + 6)(x + 4). \end{aligned}\]
б) \(D = 18^2 - 4 \cdot 1 \cdot 81 = 324 - 324 = 0\) — единственный корень.
\(x_0 = -\frac{18}{2 \cdot 1} = -9\): \[x^2 + 18x + 81 = (x - (-9))^2 = (x + 9)^2.\]
Ответ: а) \(x^2 + 10x + 24 = (x + 6)(x + 4)\); б) \(x^2 + 18x + 81 = (x + 9)^2\).
Разложите на линейные множители: а) \(x^2 + 10x + 24\); б) \(x^2 + 18x + 81\).
а) Найдём дискриминант соответствующего квадратного уравнения \(x^2 + 10x + 24 = 0\): \[D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4.\] Поскольку дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня: \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{-10 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 - 2}{2} = -6; \\ x_2 &= \frac{-10 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 2}{2} = -4. \end{aligned}\] Воспользуемся формулой \(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\): \[x^2 + 10x + 24 = (x - (-6))(x - (-4)) = (x + 6)(x + 4).\]
б) Найдём дискриминант соответствующего квадратного уравнения \(x^2 + 18x + 81 = 0\): \[D = 18^2 - 4 \cdot 1 \cdot 81 = 324 - 324 = 0.\] Дискриминант равен нулю, следовательно, уравнение имеет единственный корень \(x_0 = -\frac{18}{2 \cdot 1} = -9\). Воспользуемся формулой \(ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2\): \[x^2 + 18x + 81 = (x - (-9))^2 = (x + 9)^2.\]
Ответ: а) \(x^2 + 10x + 24 = (x + 6)(x + 4)\); б) \(x^2 + 18x + 81 = (x + 9)^2\).
