Страница 97 номер 472, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Разложите на линейные множители: а) \(x^2 + 3x - 4\); б) \(x^2 + 6x + 9\).
а) \(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 > 0\) — два корня. \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 5}{2} = -4; \\ x_2 &= \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 5}{2} = 1; \\ x^2 + 3x - 4 &= (x - (-4))(x - 1) = (x + 4)(x - 1). \end{aligned}\]
б) \(D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0\) — единственный корень.
\(x_0 = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3\): \[x^2 + 6x + 9 = (x - (-3))^2 = (x + 3)^2.\]
Ответ: а) \(x^2 + 3x - 4 = (x + 4)(x - 1)\); б) \(x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2\).
Разложите на линейные множители: а) \(x^2 + 3x - 4\); б) \(x^2 + 6x + 9\).
а) Найдём дискриминант соответствующего квадратного уравнения \(x^2 + 3x - 4 = 0\): \[D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25.\] Поскольку дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня: \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 5}{2} = -4; \\ x_2 &= \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 5}{2} = 1. \end{aligned}\] Воспользуемся формулой \(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\): \[x^2 + 3x - 4 = (x - (-4))(x - 1) = (x + 4)(x - 1).\]
б) Найдём дискриминант соответствующего квадратного уравнения \(x^2 + 6x + 9 = 0\): \[D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0.\] Дискриминант равен нулю, следовательно, уравнение имеет единственный корень \(x_0 = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3\). Воспользуемся формулой \(ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2\): \[x^2 + 6x + 9 = (x - (-3))^2 = (x + 3)^2.\]
Ответ: а) \(x^2 + 3x - 4 = (x + 4)(x - 1)\); б) \(x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2\).
