Страница 90 номер 464, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
В прямоугольном треугольнике один из катетов на 8 меньше гипотенузы, а другой — на 1 меньше гипотенузы. Найдите гипотенузу.
Дано:
прямоугольный треугольник
\(a = c - 8\) — первый катет
\(b = c - 1\) — второй катет
Найти: гипотенузу \(c\).
Решение:
По теореме Пифагора: \[\begin{aligned} (c - 8)^2 + (c - 1)^2 &= c^2; \\ c^2 - 16c + 64 + c^2 - 2c + 1 &= c^2; \\ c^2 - 18c + 65 &= 0; \\ D &= (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 65 = 324 - 260 = 64. \end{aligned}\] Дискриминант положителен — корней два: \[\begin{aligned} c_1 &= \frac{18 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{18 - 8}{2} = 5; \\ c_2 &= \frac{18 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{18 + 8}{2} = 13. \end{aligned}\] Длина катета положительна, поэтому \(c - 8 > 0\), то есть гипотенуза больше 8. Корень 5 не подходит: при \(c = 5\) первый катет был бы равен \(5 - 8 = -3\).
Корень 13 подходит: при \(c = 13\) катеты равны \(13 - 8 = 5\) и \(13 - 1 = 12\) — положительные числа.
Проверка: \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2\).
Ответ: 13.
В прямоугольном треугольнике один из катетов на 8 меньше гипотенузы, а другой — на 1 меньше гипотенузы. Найдите гипотенузу.
Дано:
прямоугольный треугольник
\(a = c - 8\) — первый катет
\(b = c - 1\) — второй катет
Найти: гипотенузу \(c\).
Решение:
Обозначим гипотенузу через \(c\). Тогда катеты равны \(c - 8\) и \(c - 1\). По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Составим уравнение, раскроем скобки по формуле квадрата разности, перенесём все слагаемые в левую часть и приведём подобные слагаемые: \[\begin{aligned} (c - 8)^2 + (c - 1)^2 &= c^2; \\ c^2 - 16c + 64 + c^2 - 2c + 1 &= c^2; \\ c^2 - 18c + 65 &= 0. \end{aligned}\] Вычислим дискриминант получившегося квадратного уравнения: \[D = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 65 = 324 - 260 = 64.\] Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два различных корня: \[\begin{aligned} c_1 &= \frac{18 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{18 - 8}{2} = 5; \\ c_2 &= \frac{18 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{18 + 8}{2} = 13. \end{aligned}\] Оба корня положительны, но не каждый подходит по смыслу задачи. Длина катета — положительное число, поэтому \(c - 8 > 0\), то есть гипотенуза больше 8. Корень 5 этому условию не удовлетворяет: при \(c = 5\) первый катет был бы равен \(5 - 8 = -3\). Корень 13 удовлетворяет: при \(c = 13\) катеты равны \(13 - 8 = 5\) и \(13 - 1 = 12\) — положительные числа.
Проверка: \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2\).
Таким образом, гипотенуза равна 13.
Ответ: 13.
