Страница 90 номер 462, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что их сумма равна 25 см, а площадь треугольника равна 77 см². Ответ дайте в сантиметрах.
Дано:
прямоугольный треугольник
\(a + b = 25\) см — сумма катетов
\(S = 77\) см² — площадь треугольника
Найти: катеты \(a\) и \(b\) в сантиметрах.
Решение:
Пусть один катет — \(a\) см, тогда второй — \((25 - a)\) см. \[\begin{aligned} \frac{1}{2} \cdot a \cdot (25 - a) &= 77; \qquad | \cdot 2 \\ a(25 - a) &= 154; \\ 25a - a^2 &= 154; \\ a^2 - 25a + 154 &= 0; \\ D &= (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 154 = 625 - 616 = 9. \end{aligned}\] Дискриминант положителен — корней два: \[\begin{aligned} a_1 &= \frac{25 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{25 - 3}{2} = 11; \\ a_2 &= \frac{25 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{25 + 3}{2} = 14. \end{aligned}\] Оба корня дают одни и те же катеты: при \(a = 11\) второй катет \(25 - 11 = 14\) (см), при \(a = 14\) — \(25 - 14 = 11\) (см).
\(\frac{1}{2} \cdot 11 \cdot 14 = 77\) (см²) — площадь треугольника, как и сказано в условии.
Ответ: 11 см и 14 см.
Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что их сумма равна 25 см, а площадь треугольника равна 77 см². Ответ дайте в сантиметрах.
Дано:
прямоугольный треугольник
\(a + b = 25\) см — сумма катетов
\(S = 77\) см² — площадь треугольника
Найти: катеты \(a\) и \(b\) в сантиметрах.
Решение:
Обозначим длину одного из катетов (в сантиметрах) через \(a\). Тогда длина второго катета равна \(25 - a\). Составим уравнение, зная, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, и умножим обе его части на 2: \[\begin{aligned} \frac{1}{2} \cdot a \cdot (25 - a) &= 77; \qquad | \cdot 2 \\ a(25 - a) &= 154; \\ 25a - a^2 &= 154; \\ a^2 - 25a + 154 &= 0. \end{aligned}\] Вычислим дискриминант получившегося квадратного уравнения: \[D = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 154 = 625 - 616 = 9.\] Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два различных корня: \[\begin{aligned} a_1 &= \frac{25 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{25 - 3}{2} = 11; \\ a_2 &= \frac{25 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{25 + 3}{2} = 14. \end{aligned}\] Какой бы из корней ни выбрать, катеты треугольника одни и те же: если первый катет равен 11 см, то второй равен \(25 - 11 = 14\) см; если первый катет равен 14 см, то второй равен \(25 - 14 = 11\) см. Площадь такого треугольника равна \(\frac{1}{2} \cdot 11 \cdot 14 = 77\) см², как и сказано в условии.
Ответ: 11 см и 14 см.
