Страница 90 номер 460, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
От листа бумаги, имеющего форму квадрата, отрезали полосу шириной 4 см, после чего площадь оставшейся части листа стала равной 32 см². Найдите сторону первоначального листа бумаги.
Дано:
лист бумаги — квадрат
\(d = 4\) см — ширина отрезанной полосы
\(S = 32\) см² — площадь оставшейся части
Найти: сторону листа \(a\).
Решение:
Полосу отрезали вдоль всей стороны листа, поэтому оставшаяся часть — прямоугольник со сторонами \(a\) см и \((a - 4)\) см. \[\begin{aligned} a(a - 4) &= 32; \\ a^2 - 4a - 32 &= 0; \\ D &= (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144. \end{aligned}\] Дискриминант положителен — корней два: \[\begin{aligned} a_1 &= \frac{4 - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 12}{2} = -4; \\ a_2 &= \frac{4 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 12}{2} = 8. \end{aligned}\] Длины сторон оставшейся части положительны, поэтому \(a - 4 > 0\), то есть \(a > 4\). Корень \(-4\) этому условию не удовлетворяет, а корень 8 удовлетворяет.
\(8 - 4 = 4\) (см) — вторая сторона оставшейся части.
\(8 \cdot 4 = 32\) (см²) — её площадь, как и сказано в условии.
Ответ: 8 см.
От листа бумаги, имеющего форму квадрата, отрезали полосу шириной 4 см, после чего площадь оставшейся части листа стала равной 32 см². Найдите сторону первоначального листа бумаги.
Дано:
лист бумаги — квадрат
\(d = 4\) см — ширина отрезанной полосы
\(S = 32\) см² — площадь оставшейся части
Найти: сторону листа \(a\).
Решение:
Обозначим сторону первоначального листа (в сантиметрах) через \(a\). Полосу шириной 4 см отрезали вдоль всей стороны листа, поэтому оставшаяся часть — прямоугольник со сторонами \(a\) см и \((a - 4)\) см. Его площадь равна 32 см². Составим уравнение, раскроем скобки и перенесём все слагаемые в левую часть: \[\begin{aligned} a(a - 4) &= 32; \\ a^2 - 4a - 32 &= 0. \end{aligned}\] Вычислим дискриминант получившегося квадратного уравнения: \[D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144.\] Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два различных корня: \[\begin{aligned} a_1 &= \frac{4 - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 12}{2} = -4; \\ a_2 &= \frac{4 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 12}{2} = 8. \end{aligned}\] Длины сторон оставшейся части — положительные числа, поэтому \(a - 4 > 0\), то есть \(a > 4\). Корень \(-4\) этому условию не удовлетворяет, а корень 8 удовлетворяет: при \(a = 8\) оставшаяся часть — прямоугольник со сторонами 8 см и \(8 - 4 = 4\) см, его площадь \(8 \cdot 4 = 32\) см², как и сказано в условии.
Таким образом, сторона первоначального листа равна 8 см.
Ответ: 8 см.
