Страница 90 номер 459, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
В прямоугольном треугольнике один из катетов на 8 меньше гипотенузы, а другой — на 4 меньше гипотенузы. Найдите гипотенузу.
Дано:
прямоугольный треугольник
\(a = c - 8\) — первый катет
\(b = c - 4\) — второй катет
Найти: гипотенузу \(c\).
Решение:
По теореме Пифагора: \[\begin{aligned} (c - 8)^2 + (c - 4)^2 &= c^2; \\ c^2 - 16c + 64 + c^2 - 8c + 16 &= c^2; \\ c^2 - 24c + 80 &= 0; \\ D &= (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 80 = 576 - 320 = 256. \end{aligned}\] Дискриминант положителен — корней два: \[\begin{aligned} c_1 &= \frac{24 - \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{24 - 16}{2} = 4; \\ c_2 &= \frac{24 + \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{24 + 16}{2} = 20. \end{aligned}\] Длина катета положительна, поэтому \(c - 8 > 0\), то есть гипотенуза больше 8. Корень 4 не подходит: при \(c = 4\) первый катет был бы равен \(4 - 8 = -4\).
Корень 20 подходит: при \(c = 20\) катеты равны \(20 - 8 = 12\) и \(20 - 4 = 16\) — положительные числа.
Проверка: \(12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 = 20^2\).
Ответ: 20.
В прямоугольном треугольнике один из катетов на 8 меньше гипотенузы, а другой — на 4 меньше гипотенузы. Найдите гипотенузу.
Дано:
прямоугольный треугольник
\(a = c - 8\) — первый катет
\(b = c - 4\) — второй катет
Найти: гипотенузу \(c\).
Решение:
Обозначим гипотенузу через \(c\). Тогда катеты равны \(c - 8\) и \(c - 4\). По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Составим уравнение, раскроем скобки по формуле квадрата разности, перенесём все слагаемые в левую часть и приведём подобные слагаемые: \[\begin{aligned} (c - 8)^2 + (c - 4)^2 &= c^2; \\ c^2 - 16c + 64 + c^2 - 8c + 16 &= c^2; \\ c^2 - 24c + 80 &= 0. \end{aligned}\] Вычислим дискриминант получившегося квадратного уравнения: \[D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 80 = 576 - 320 = 256.\] Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два различных корня: \[\begin{aligned} c_1 &= \frac{24 - \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{24 - 16}{2} = 4; \\ c_2 &= \frac{24 + \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{24 + 16}{2} = 20. \end{aligned}\] Оба корня положительны, но не каждый подходит по смыслу задачи. Длина катета — положительное число, поэтому \(c - 8 > 0\), то есть гипотенуза больше 8. Корень 4 этому условию не удовлетворяет: при \(c = 4\) первый катет был бы равен \(4 - 8 = -4\). Корень 20 удовлетворяет: при \(c = 20\) катеты равны \(20 - 8 = 12\) и \(20 - 4 = 16\) — положительные числа.
Проверка: \(12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 = 20^2\).
Таким образом, гипотенуза равна 20.
Ответ: 20.
