Страница 22 номер 46, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
На числовой прямой на рисунке 19 отмечены числа \(a\) и \(b\). Где на этой прямой нужно отметить точку \(x\) так, чтобы выполнялись три условия: \(x - b > 0\), \(-b^2x \ge 0\) и \(x - a < 0\)?
Из расположения чисел на прямой следует, что \(b < a < 0\).
\(x > b\) — прибавили к обеим частям \(x - b > 0\) число \(b\).
\(x < a\) — прибавили к обеим частям \(x - a < 0\) число \(a\).
Значит, \(b < x < a\).
Число \(b\) отрицательно, поэтому \(b^2 > 0\) и число \(-\frac{1}{b^2}\) отрицательно.
\(x \leqslant 0\) — умножили обе части \(-b^2x \geqslant 0\) на отрицательное число \(-\frac{1}{b^2}\), знак меняется на противоположный.
При \(b < x < a\) из \(x < a\) и \(a < 0\) следует \(x < 0\) — неравенство \(x \leqslant 0\) выполняется само собой.
Условие \(-b^2x \geqslant 0\) тоже выполнено: \(-b^2x\) — произведение двух отрицательных чисел, оно положительно.
Следовательно, все три условия выполняются при \(b < x < a\) — подойдёт любая точка между \(b\) и \(a\). Отметим одну из них:
Ответ: точку \(x\) нужно отметить между точками \(b\) и \(a\), то есть \(b < x < a\).
На числовой прямой на рисунке 19 отмечены числа \(a\) и \(b\). Где на этой прямой нужно отметить точку \(x\) так, чтобы выполнялись три условия: \(x - b > 0\), \(-b^2x \ge 0\) и \(x - a < 0\)?
Из расположения чисел на числовой прямой следует, что \(b < a < 0\).
Прибавим к обеим частям неравенства \(x - b > 0\) число \(b\) — прибавление одного и того же числа к обеим частям не меняет знака неравенства: \(x > b\). Прибавим к обеим частям неравенства \(x - a < 0\) число \(a\): \(x < a\). Значит, \(b < x < a\).
Число \(b\) отрицательно, поэтому \(b \ne 0\) и \(b^2 > 0\). Тогда число \(\frac{1}{b^2}\) положительно, а противоположное ему число \(-\frac{1}{b^2}\) отрицательно. Умножим обе части неравенства \(-b^2x \geqslant 0\) на отрицательное число \(-\frac{1}{b^2}\) — при умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: \(x \leqslant 0\).
Числа \(x\), для которых \(b < x < a\), отрицательны: из неравенств \(x < a\) и \(a < 0\) следует, что \(x < 0\). Поэтому неравенство \(x \leqslant 0\) для каждого такого числа выполняется само собой, и условие \(-b^2x \geqslant 0\) тоже выполнено: произведение \(-b^2x\) двух отрицательных чисел положительно. Значит, все три условия выполняются, когда \(b < x < a\).
Значит, точку \(x\) нужно отметить между точками \(b\) и \(a\) — подойдёт любая точка между ними. Отметим одну из таких точек:
Ответ: точку \(x\) нужно отметить между точками \(b\) и \(a\), то есть \(b < x < a\).
