Страница 22 номер 45, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Известно, что \(a \ge -b\). Сравните выражения: а) \(\frac{a - b}{2}\) и \(a\); б) \(\frac{a - b}{2}\) и \(-b\).
а) \(a + a \geqslant a - b\), то есть \(2a \geqslant a - b\) — прибавили к обеим частям \(a \geqslant -b\) число \(a\).
\(a \geqslant \frac{a - b}{2}\) — умножили обе части на положительное число \(\frac{1}{2}\), знак сохраняется.
Поменяв местами части и сменив знак, получаем \(\frac{a - b}{2} \leqslant a\).
б) \(a - b \geqslant -b - b\), то есть \(a - b \geqslant -2b\) — прибавили к обеим частям \(a \geqslant -b\) число \(-b\).
\(\frac{a - b}{2} \geqslant -b\) — умножили обе части на положительное число \(\frac{1}{2}\), знак сохраняется.
Знак в обоих пунктах нестрогий: равенство достигается при \(a = -b\). Например, числа \(a = 2\) и \(b = -2\) удовлетворяют условию (\(2 \geqslant 2\)), и при них \(\frac{a - b}{2} = \frac{2 - (-2)}{2} = 2\), то есть значение выражения равно и \(a\), и \(-b\).
Ответ: а) \(\frac{a - b}{2} \leqslant a\); б) \(\frac{a - b}{2} \geqslant -b\).
Известно, что \(a \ge -b\). Сравните выражения: а) \(\frac{a - b}{2}\) и \(a\); б) \(\frac{a - b}{2}\) и \(-b\).
а) Прибавим к обеим частям неравенства \(a \geqslant -b\) число \(a\) — прибавление одного и того же числа к обеим частям не меняет знака неравенства: \(a + a \geqslant a - b\), то есть \(2a \geqslant a - b\). Умножим обе части на положительное число \(\frac{1}{2}\) — при умножении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется: \(a \geqslant \frac{a - b}{2}\). Поменяв местами части неравенства и сменив его знак на противоположный, получаем \(\frac{a - b}{2} \leqslant a\).
б) Прибавим к обеим частям неравенства \(a \geqslant -b\) число \(-b\), знак неравенства не меняется: \(a - b \geqslant -b - b\), то есть \(a - b \geqslant -2b\). Умножим обе части на положительное число \(\frac{1}{2}\), знак неравенства сохраняется: \(\frac{a - b}{2} \geqslant -b\).
В обоих пунктах знак нестрогий, потому что равенство возможно — оно достигается, когда \(a = -b\). Например, числа \(a = 2\) и \(b = -2\) удовлетворяют условию (\(2 \geqslant 2\)), и при них значение выражения \(\frac{a - b}{2}\) равно \(\frac{2 - (-2)}{2} = 2\), то есть равно и числу \(a\), и числу \(-b\).
Ответ: а) \(\frac{a - b}{2} \leqslant a\); б) \(\frac{a - b}{2} \geqslant -b\).
