Страница 89 номер 453, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите наибольшее двузначное число, разность цифр которого равна 3, а произведение равно 10.
Пусть \(x\) — меньшая цифра, тогда \(x + 3\) — большая. \[\begin{aligned} x(x + 3) &= 10; \\ x^2 + 3x - 10 &= 0; \\ D &= 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49. \end{aligned}\] Дискриминант положителен — корней два: \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 7}{2} = -5; \\ x_2 &= \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 7}{2} = 2. \end{aligned}\] Цифра не может быть отрицательной, поэтому корень \(-5\) не подходит. Меньшая цифра — 2, большая — \(2 + 3 = 5\).
Из цифр 2 и 5 составляются числа 25 и 52; наибольшее из них — 52: разность его цифр \(5 - 2 = 3\), произведение \(5 \cdot 2 = 10\).
Ответ: 52.
Найдите наибольшее двузначное число, разность цифр которого равна 3, а произведение равно 10.
Разность цифр числа равна 3, то есть одна из цифр на 3 больше другой. Обозначим меньшую цифру через \(x\). Тогда большая цифра равна \(x + 3\). Произведение цифр равно 10. Составим уравнение: \[\begin{aligned} x(x + 3) &= 10; \\ x^2 + 3x - 10 &= 0. \end{aligned}\] Вычислим дискриминант получившегося квадратного уравнения: \[D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49.\] Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два различных корня: \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 7}{2} = -5; \\ x_2 &= \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 7}{2} = 2. \end{aligned}\] Цифра не может быть отрицательным числом, поэтому корень \(-5\) не подходит. Значит, меньшая цифра равна 2, а большая — \(2 + 3 = 5\). Из цифр 2 и 5 составляются два двузначных числа: 25 и 52. Наибольшее из них — 52: разность его цифр \(5 - 2 = 3\), а произведение \(5 \cdot 2 = 10\).
Ответ: 52.
