Страница 89 номер 451, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
При каких значениях переменной \(x\) значение выражения \(x^2 + 3\) в 2 раза больше значения выражения \(3x + 2\)?
\[\begin{aligned} x^2 + 3 &= 2(3x + 2); \\ x^2 + 3 &= 6x + 4; \\ x^2 - 6x - 1 &= 0; \\ D &= (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 36 + 4 = 40. \end{aligned}\] Дискриминант положителен — корней два.
\(\sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}\): \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{6 - 2\sqrt{10}}{2 \cdot 1} = 3 - \sqrt{10}; \\ x_2 &= \frac{6 + 2\sqrt{10}}{2 \cdot 1} = 3 + \sqrt{10}. \end{aligned}\]
Ответ: при \(x = 3 - \sqrt{10}\) и при \(x = 3 + \sqrt{10}\).
При каких значениях переменной \(x\) значение выражения \(x^2 + 3\) в 2 раза больше значения выражения \(3x + 2\)?
Значение выражения \(x^2 + 3\) в 2 раза больше значения выражения \(3x + 2\), если \(x^2 + 3 = 2(3x + 2)\). Решим это уравнение, раскрыв скобки и перенеся все слагаемые в левую часть: \[\begin{aligned} x^2 + 3 &= 2(3x + 2); \\ x^2 + 3 &= 6x + 4; \\ x^2 - 6x - 1 &= 0. \end{aligned}\] Вычислим дискриминант получившегося квадратного уравнения: \[D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 36 + 4 = 40.\] Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два различных корня. Заметим, что \(\sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}\). Найдём корни уравнения: \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{6 - 2\sqrt{10}}{2 \cdot 1} = 3 - \sqrt{10}; \\ x_2 &= \frac{6 + 2\sqrt{10}}{2 \cdot 1} = 3 + \sqrt{10}. \end{aligned}\]
Ответ: при \(x = 3 - \sqrt{10}\) и при \(x = 3 + \sqrt{10}\).
