Страница 89 номер 449, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Первая цифра двузначного числа на 1 меньше второй, а сумма квадратов этого числа и числа, полученного перестановкой его цифр, равна 3005. Найдите это число.
Пусть \(x\) — первая цифра, тогда \(x + 1\) — вторая.
\(10x + (x + 1) = 11x + 1\) — само число.
\(10(x + 1) + x = 11x + 10\) — число, полученное перестановкой цифр. \[\begin{aligned} (11x + 1)^2 + (11x + 10)^2 &= 3005; \\ 121x^2 + 22x + 1 + 121x^2 + 220x + 100 &= 3005; \\ 242x^2 + 242x - 2904 &= 0; \qquad | : 242 \\ x^2 + x - 12 &= 0; \\ D &= 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49. \end{aligned}\] Дискриминант положителен — корней два: \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 7}{2} = -4; \\ x_2 &= \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 7}{2} = 3. \end{aligned}\] Цифра не может быть отрицательной, поэтому корень \(-4\) не подходит. Первая цифра — 3, вторая — \(3 + 1 = 4\), искомое число — 34.
Проверка: \(34^2 + 43^2 = 1156 + 1849 = 3005\), и первая цифра 3 на 1 меньше второй цифры 4.
Ответ: 34.
Первая цифра двузначного числа на 1 меньше второй, а сумма квадратов этого числа и числа, полученного перестановкой его цифр, равна 3005. Найдите это число.
Обозначим первую цифру числа через \(x\). Тогда вторая цифра равна \(x + 1\). Число содержит \(x\) десятков и \(x + 1\) единиц, поэтому оно равно \(10x + (x + 1) = 11x + 1\). Число, полученное перестановкой цифр, содержит \(x + 1\) десятков и \(x\) единиц, то есть равно \(10(x + 1) + x = 11x + 10\).
Сумма квадратов этих чисел равна 3005. Составим уравнение, раскроем скобки по формуле квадрата суммы, перенесём все слагаемые в левую часть, приведём подобные слагаемые и разделим обе части на 242: \[\begin{aligned} (11x + 1)^2 + (11x + 10)^2 &= 3005; \\ 121x^2 + 22x + 1 + 121x^2 + 220x + 100 &= 3005; \\ 242x^2 + 242x - 2904 &= 0; \qquad | : 242 \\ x^2 + x - 12 &= 0. \end{aligned}\] Вычислим дискриминант получившегося квадратного уравнения: \[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49.\] Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два различных корня: \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 7}{2} = -4; \\ x_2 &= \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 7}{2} = 3. \end{aligned}\] Цифра не может быть отрицательным числом, поэтому корень \(-4\) не подходит. Значит, первая цифра числа равна 3, вторая — \(3 + 1 = 4\), и искомое число — 34.
Проверка: \(34^2 + 43^2 = 1156 + 1849 = 3005\), и первая цифра 3 на 1 меньше второй цифры 4.
Ответ: 34.
