Страница 86 номер 446, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите систему неравенств: а) \(\begin{cases}x < 10, \\ x < 15;\end{cases}\) б) \(\begin{cases}1 - x \le 0, \\ 4 - x \ge 0.\end{cases}\)
а) Решения неравенств — лучи \((-\infty; 10)\) и \((-\infty; 15)\).
Решения системы — пересечение лучей. Если \(x < 10\) и \(10 < 15\), то \(x < 15\): луч \((-\infty; 10)\) целиком содержится в луче \((-\infty; 15)\), а числа, не меньшие 10, не удовлетворяют первому неравенству. Значит, пересечение — луч \((-\infty; 10)\); число 10 не входит (неравенство \(x < 10\) строгое).
б) В обоих неравенствах умножаем обе части на отрицательное число \(-1\) — знак неравенства меняется на противоположный: \[\begin{aligned} 1 - x &\leqslant 0; \\ -x &\leqslant -1; \qquad | \cdot (-1) \\ x &\geqslant 1. \\ 4 - x &\geqslant 0; \\ -x &\geqslant -4; \qquad | \cdot (-1) \\ x &\leqslant 4. \end{aligned}\]
Решения системы — пересечение промежутков: \(1 \leqslant x \leqslant 4\); оба неравенства нестрогие, поэтому числа 1 и 4 входят. Значит, это отрезок \([1; 4]\).
Ответ: а) \((-\infty; 10)\); б) \([1; 4]\).
Решите систему неравенств: а) \(\begin{cases}x < 10, \\ x < 15;\end{cases}\) б) \(\begin{cases}1 - x \le 0, \\ 4 - x \ge 0.\end{cases}\)
а) Множеством решений первого неравенства \(x < 10\) является луч \((-\infty; 10)\), а множеством решений второго неравенства \(x < 15\) — луч \((-\infty; 15)\). Изобразим эти промежутки на одной числовой прямой и найдём их пересечение:
Оба луча направлены влево. Каждое число, меньшее 10, меньше и 15: если \(x < 10\) и \(10 < 15\), то \(x < 15\). Поэтому луч \((-\infty; 10)\) целиком содержится в луче \((-\infty; 15)\), а числа, не меньшие 10, не удовлетворяют первому неравенству. Значит, пересечение лучей — луч \((-\infty; 10)\); число 10 в него не входит, так как неравенство \(x < 10\) строгое. Множеством решений системы является луч \((-\infty; 10)\).
б) Решим первое неравенство: перенесём 1 в правую часть с противоположным знаком и умножим обе части на \(-1\), поменяв знак неравенства на противоположный: \[\begin{aligned} 1 - x &\leqslant 0; \\ -x &\leqslant -1; \qquad | \cdot (-1) \\ x &\geqslant 1. \end{aligned}\] Решим второе неравенство: перенесём 4 в правую часть с противоположным знаком и умножим обе части на \(-1\), поменяв знак неравенства на противоположный: \[\begin{aligned} 4 - x &\geqslant 0; \\ -x &\geqslant -4; \qquad | \cdot (-1) \\ x &\leqslant 4. \end{aligned}\] Изобразим промежутки \([1; +\infty)\) и \((-\infty; 4]\) на одной числовой прямой и найдём их пересечение:
Пересечение состоит из чисел, которые удовлетворяют обоим неравенствам, то есть \(1 \leqslant x \leqslant 4\). Оба неравенства нестрогие, поэтому числа 1 и 4 входят в множество решений. Значит, множеством решений системы является отрезок \([1; 4]\).
Ответ: а) \((-\infty; 10)\); б) \([1; 4]\).
