Страница 86 номер 444, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Представьте выражение в виде произведения многочленов ненулевой степени: а) \(7x^2 + 8xy + y^2\); б) \(81 - (a^2 - 2ab + b^2)\); в) \(1 + 2ca + b^2 - 2b - c^2 - a^2\); г) \(x^4 - 3x^2 - 10\).
а) \[\begin{aligned} &7x^2 + 8xy + y^2 = 7x^2 + 7xy + xy + y^2 = {} \\ &= 7x(x + y) + y(x + y) = (x + y)(7x + y). \end{aligned}\]
б) \[\begin{aligned} &81 - (a^2 - 2ab + b^2) = 9^2 - (a - b)^2 = {} \\ &= (9 - (a - b))(9 + (a - b)) = {} \\ &= (9 - a + b)(9 + a - b). \end{aligned}\]
в) \[\begin{aligned} &1 + 2ca + b^2 - 2b - c^2 - a^2 = {} \\ &= (b^2 - 2b + 1) - (a^2 - 2ac + c^2) = {} \\ &= (b - 1)^2 - (a - c)^2 = {} \\ &= (b - 1 - (a - c))(b - 1 + (a - c)) = {} \\ &= (b - 1 - a + c)(b - 1 + a - c). \end{aligned}\]
г) \[\begin{aligned} &x^4 - 3x^2 - 10 = x^4 - 5x^2 + 2x^2 - 10 = {} \\ &= x^2(x^2 - 5) + 2(x^2 - 5) = (x^2 - 5)(x^2 + 2). \end{aligned}\] Оба множителя — многочлены второй степени.
Ответ: а) \((x + y)(7x + y)\); б) \((9 - a + b)(9 + a - b)\); в) \((b - 1 - a + c)(b - 1 + a - c)\); г) \((x^2 - 5)(x^2 + 2)\).
Представьте выражение в виде произведения многочленов ненулевой степени: а) \(7x^2 + 8xy + y^2\); б) \(81 - (a^2 - 2ab + b^2)\); в) \(1 + 2ca + b^2 - 2b - c^2 - a^2\); г) \(x^4 - 3x^2 - 10\).
а) Представим слагаемое \(8xy\) в виде суммы \(7xy + xy\), сгруппируем слагаемые попарно и вынесем общие множители за скобки: \[\begin{aligned} &7x^2 + 8xy + y^2 = 7x^2 + 7xy + xy + y^2 = {} \\ &= 7x(x + y) + y(x + y) = (x + y)(7x + y). \end{aligned}\]
б) Выражение в скобках — квадрат разности: \(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\), кроме того, \(81 = 9^2\). Применим формулу разности квадратов: \[\begin{aligned} &81 - (a^2 - 2ab + b^2) = 9^2 - (a - b)^2 = {} \\ &= (9 - (a - b))(9 + (a - b)) = {} \\ &= (9 - a + b)(9 + a - b). \end{aligned}\]
в) Сгруппируем слагаемые так, чтобы получились два квадрата разности: \(b^2 - 2b + 1 = (b - 1)^2\) и \(a^2 - 2ac + c^2 = (a - c)^2\). Затем применим формулу разности квадратов: \[\begin{aligned} &1 + 2ca + b^2 - 2b - c^2 - a^2 = {} \\ &= (b^2 - 2b + 1) - (a^2 - 2ac + c^2) = {} \\ &= (b - 1)^2 - (a - c)^2 = {} \\ &= (b - 1 - (a - c))(b - 1 + (a - c)) = {} \\ &= (b - 1 - a + c)(b - 1 + a - c). \end{aligned}\]
г) Представим слагаемое \(-3x^2\) в виде суммы \(-5x^2 + 2x^2\), сгруппируем слагаемые попарно и вынесем общие множители за скобки: \[\begin{aligned} &x^4 - 3x^2 - 10 = x^4 - 5x^2 + 2x^2 - 10 = {} \\ &= x^2(x^2 - 5) + 2(x^2 - 5) = (x^2 - 5)(x^2 + 2). \end{aligned}\] Оба множителя — многочлены второй степени.
Ответ: а) \((x + y)(7x + y)\); б) \((9 - a + b)(9 + a - b)\); в) \((b - 1 - a + c)(b - 1 + a - c)\); г) \((x^2 - 5)(x^2 + 2)\).
