Страница 86 номер 443, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите систему неравенств: а) \(\begin{cases}x > -5, \\ x \le 8;\end{cases}\) б) \(\begin{cases}x \ge 5, \\ x \le -0{,}5.\end{cases}\)
а) Решения неравенств — лучи \((-5; +\infty)\) и \((-\infty; 8]\).
Решения системы — пересечение лучей: \(-5 < x \leqslant 8\); число \(-5\) не входит (неравенство \(x > -5\) строгое), число 8 входит (неравенство \(x \leqslant 8\) нестрогое). Значит, это полуинтервал \((-5; 8]\).
б) Решения неравенств — лучи \([5; +\infty)\) и \((-\infty; -0{,}5]\).
Если \(x \geqslant 5\) и \(5 > 0\), то \(x > 0\), а если \(x \leqslant -0{,}5\) и \(-0{,}5 < 0\), то \(x < 0\): все решения первого неравенства положительны, а все решения второго — отрицательны. Ни одно число не может быть одновременно положительным и отрицательным, поэтому у лучей нет общих точек, и система не имеет решений.
Ответ: а) \((-5; 8]\); б) решений нет.
Решите систему неравенств: а) \(\begin{cases}x > -5, \\ x \le 8;\end{cases}\) б) \(\begin{cases}x \ge 5, \\ x \le -0{,}5.\end{cases}\)
а) Множеством решений первого неравенства \(x > -5\) является луч \((-5; +\infty)\), а множеством решений второго неравенства \(x \leqslant 8\) — луч \((-\infty; 8]\). Изобразим эти промежутки на одной числовой прямой и найдём их пересечение:
Пересечение состоит из чисел, которые удовлетворяют обоим неравенствам, то есть \(-5 < x \leqslant 8\). Левый конец — число \(-5\) из первого неравенства; неравенство \(x > -5\) строгое, поэтому число \(-5\) в множество решений не входит. Правый конец — число 8 из второго неравенства; неравенство \(x \leqslant 8\) нестрогое, поэтому число 8 входит. Значит, множеством решений системы является полуинтервал \((-5; 8]\).
б) Множеством решений первого неравенства \(x \geqslant 5\) является луч \([5; +\infty)\), а множеством решений второго неравенства \(x \leqslant -0{,}5\) — луч \((-\infty; -0{,}5]\). Все решения первого неравенства — положительные числа: если \(x \geqslant 5\) и \(5 > 0\), то \(x > 0\). А все решения второго неравенства — отрицательные числа: если \(x \leqslant -0{,}5\) и \(-0{,}5 < 0\), то \(x < 0\). Ни одно число не может быть одновременно положительным и отрицательным, поэтому у этих лучей нет общих точек. Следовательно, система не имеет решений.
Ответ: а) \((-5; 8]\); б) решений нет.
