Страница 86 номер 441, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Представьте выражение в виде произведения многочленов ненулевой степени: а) \(7m^2 + 7n^2 - 14mn\); б) \(9 - k^2 + 2kr - r^2\); в) \(b^3 - 2b^2 - 6b + 27\); г) \(a(a + 10) - (6b - 5)(6b + 5)\).
а) \[7m^2 + 7n^2 - 14mn = 7(m^2 - 2mn + n^2) = 7(m - n)^2.\]
б) \[\begin{aligned} &9 - k^2 + 2kr - r^2 = 9 - (k^2 - 2kr + r^2) = {} \\ &= 3^2 - (k - r)^2 = {} \\ &= (3 - (k - r))(3 + (k - r)) = {} \\ &= (3 - k + r)(3 + k - r). \end{aligned}\]
в) \[\begin{aligned} &b^3 - 2b^2 - 6b + 27 = (b^3 + 27) - (2b^2 + 6b) = {} \\ &= (b + 3)(b^2 - 3b + 9) - 2b(b + 3) = {} \\ &= (b + 3)(b^2 - 3b + 9 - 2b) = {} \\ &= (b + 3)(b^2 - 5b + 9). \end{aligned}\]
г) \((6b - 5)(6b + 5) = 36b^2 - 25\), поэтому \[\begin{aligned} &a(a + 10) - (6b - 5)(6b + 5) = {} \\ &= a^2 + 10a + 25 - 36b^2 = {} \\ &= (a + 5)^2 - (6b)^2 = {} \\ &= (a + 5 - 6b)(a + 5 + 6b). \end{aligned}\]
Ответ: а) \(7(m - n)^2\); б) \((3 - k + r)(3 + k - r)\); в) \((b + 3)(b^2 - 5b + 9)\); г) \((a + 5 - 6b)(a + 5 + 6b)\).
Представьте выражение в виде произведения многочленов ненулевой степени: а) \(7m^2 + 7n^2 - 14mn\); б) \(9 - k^2 + 2kr - r^2\); в) \(b^3 - 2b^2 - 6b + 27\); г) \(a(a + 10) - (6b - 5)(6b + 5)\).
а) Вынесем за скобки общий множитель 7; в скобках получится квадрат разности: \[7m^2 + 7n^2 - 14mn = 7(m^2 - 2mn + n^2) = 7(m - n)^2.\]
б) Вынесем знак минус за скобки у трёх последних слагаемых — в скобках получится квадрат разности, а \(9 = 3^2\). Затем применим формулу разности квадратов: \[\begin{aligned} &9 - k^2 + 2kr - r^2 = 9 - (k^2 - 2kr + r^2) = {} \\ &= 3^2 - (k - r)^2 = {} \\ &= (3 - (k - r))(3 + (k - r)) = {} \\ &= (3 - k + r)(3 + k - r). \end{aligned}\]
в) Сгруппируем слагаемые. Сумму \(b^3 + 27 = b^3 + 3^3\) разложим на множители по формуле суммы кубов, а из суммы \(2b^2 + 6b\) вынесем за скобки \(2b\). Затем вынесем за скобки общий множитель \(b + 3\): \[\begin{aligned} &b^3 - 2b^2 - 6b + 27 = (b^3 + 27) - (2b^2 + 6b) = {} \\ &= (b + 3)(b^2 - 3b + 9) - 2b(b + 3) = {} \\ &= (b + 3)(b^2 - 3b + 9 - 2b) = {} \\ &= (b + 3)(b^2 - 5b + 9). \end{aligned}\]
г) Раскроем скобки; второе произведение найдём по формуле разности квадратов: \((6b - 5)(6b + 5) = 36b^2 - 25\). Слагаемые \(a^2 + 10a + 25\) образуют квадрат суммы, а \(36b^2 = (6b)^2\), поэтому ещё раз применим формулу разности квадратов: \[\begin{aligned} &a(a + 10) - (6b - 5)(6b + 5) = {} \\ &= a^2 + 10a + 25 - 36b^2 = {} \\ &= (a + 5)^2 - (6b)^2 = {} \\ &= (a + 5 - 6b)(a + 5 + 6b). \end{aligned}\]
Ответ: а) \(7(m - n)^2\); б) \((3 - k + r)(3 + k - r)\); в) \((b + 3)(b^2 - 5b + 9)\); г) \((a + 5 - 6b)(a + 5 + 6b)\).
