Страница 86 номер 440, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение: а) \(9z^2 + 28z + 21 = 0\); б) \(6x^2 + 48 = 0\); в) \(-5x^2 - 15x = 0\); г) \(x^2 - 225 = 0\); д) \(-y^2 - 6y + 5 = 0\).
а) Коэффициенты: \(a = 9\), \(b = 28\) и \(c = 21\). \[\begin{aligned} k &= \frac{28}{2} = 14; \\ D_1 &= 14^2 - 9 \cdot 21 = 196 - 189 = 7. \end{aligned}\] Поскольку \(D_1 > 0\), уравнение имеет два различных корня: \[\begin{aligned} z &= \frac{-14 - \sqrt{7}}{9}; \\ z &= \frac{-14 + \sqrt{7}}{9}. \end{aligned}\]
б) \[\begin{aligned} 6x^2 + 48 &= 0; \\ 6x^2 &= -48; \qquad | : 6 \\ x^2 &= -8. \end{aligned}\] Квадрат любого числа неотрицателен, а число \(-8\) отрицательно, поэтому уравнение не имеет решений.
в) \[\begin{aligned} -5x^2 - 15x &= 0; \qquad | : (-5) \\ x^2 + 3x &= 0; \\ x(x + 3) &= 0; \\ x &= 0 \text{ или } x + 3 = 0; \\ x &= 0 \text{ или } x = -3. \end{aligned}\]
г) \(x^2 = 225\). Число 225 положительно, поэтому уравнение имеет два корня: \(x = -\sqrt{225} = -15\) или \(x = \sqrt{225} = 15\).
д) \[\begin{aligned} -y^2 - 6y + 5 &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ y^2 + 6y - 5 &= 0. \end{aligned}\] Коэффициенты: \(a = 1\), \(b = 6\) и \(c = -5\). \[\begin{aligned} k &= \frac{6}{2} = 3; \\ D_1 &= 3^2 - 1 \cdot (-5) = 9 + 5 = 14. \end{aligned}\] Поскольку \(D_1 > 0\), уравнение имеет два различных корня: \[\begin{aligned} y &= \frac{-3 - \sqrt{14}}{1} = -3 - \sqrt{14}; \\ y &= \frac{-3 + \sqrt{14}}{1} = -3 + \sqrt{14}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(\frac{-14 - \sqrt{7}}{9}\); \(\frac{-14 + \sqrt{7}}{9}\); б) решений нет; в) \(-3\); \(0\); г) \(-15\); \(15\); д) \(-3 - \sqrt{14}\); \(-3 + \sqrt{14}\).
Решите уравнение: а) \(9z^2 + 28z + 21 = 0\); б) \(6x^2 + 48 = 0\); в) \(-5x^2 - 15x = 0\); г) \(x^2 - 225 = 0\); д) \(-y^2 - 6y + 5 = 0\).
а) Выпишем коэффициенты квадратного уравнения: \(a = 9\), \(b = 28\) и \(c = 21\). Коэффициент \(b\) — чётное число, поэтому воспользуемся формулами с \(D_1\), где \(b = 2k\): \[\begin{aligned} k &= \frac{28}{2} = 14; \\ D_1 &= 14^2 - 9 \cdot 21 = 196 - 189 = 7. \end{aligned}\] Поскольку \(D_1 > 0\), уравнение имеет два различных корня. Найдём их по формулам \(z = \frac{-k - \sqrt{D_1}}{a}\) и \(z = \frac{-k + \sqrt{D_1}}{a}\): \[\begin{aligned} z &= \frac{-14 - \sqrt{7}}{9}; \\ z &= \frac{-14 + \sqrt{7}}{9}. \end{aligned}\]
б) Перенесём 48 в правую часть уравнения с противоположным знаком и разделим обе части на 6: \[\begin{aligned} 6x^2 + 48 &= 0; \\ 6x^2 &= -48; \qquad | : 6 \\ x^2 &= -8. \end{aligned}\] Квадрат любого числа неотрицателен, а число \(-8\) отрицательно, поэтому уравнение не имеет решений.
в) Разделим обе части уравнения на \(-5\) и вынесем за скобки множитель \(x\). Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \[\begin{aligned} -5x^2 - 15x &= 0; \qquad | : (-5) \\ x^2 + 3x &= 0; \\ x(x + 3) &= 0; \\ x &= 0 \text{ или } x + 3 = 0; \\ x &= 0 \text{ или } x = -3. \end{aligned}\]
г) Приведём уравнение к виду \(x^2 = 225\). Число 225 положительно, поэтому уравнение имеет два корня: \(x = -\sqrt{225} = -15\) или \(x = \sqrt{225} = 15\).
д) Умножим обе части уравнения на \(-1\), чтобы старший коэффициент стал положительным: \[\begin{aligned} -y^2 - 6y + 5 &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ y^2 + 6y - 5 &= 0. \end{aligned}\] Выпишем коэффициенты получившегося квадратного уравнения: \(a = 1\), \(b = 6\) и \(c = -5\). Коэффициент \(b\) — чётное число, поэтому воспользуемся формулами с \(D_1\), где \(b = 2k\): \[\begin{aligned} k &= \frac{6}{2} = 3; \\ D_1 &= 3^2 - 1 \cdot (-5) = 9 + 5 = 14. \end{aligned}\] Поскольку \(D_1 > 0\), уравнение имеет два различных корня. Найдём их по формулам \(y = \frac{-k - \sqrt{D_1}}{a}\) и \(y = \frac{-k + \sqrt{D_1}}{a}\): \[\begin{aligned} y &= \frac{-3 - \sqrt{14}}{1} = -3 - \sqrt{14}; \\ y &= \frac{-3 + \sqrt{14}}{1} = -3 + \sqrt{14}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(\frac{-14 - \sqrt{7}}{9}\); \(\frac{-14 + \sqrt{7}}{9}\); б) решений нет; в) \(-3\); \(0\); г) \(-15\); \(15\); д) \(-3 - \sqrt{14}\); \(-3 + \sqrt{14}\).
