Страница 86 номер 437, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение: а) \(\frac{1}{4}x^2 + 3x = 0\); б) \(16x^2 - 9 = 0\); в) \(5x^2 + 30 = 0\).
а) \[\begin{aligned} \frac{1}{4}x^2 + 3x &= 0; \qquad | \cdot 4 \\ x^2 + 12x &= 0; \\ x(x + 12) &= 0; \\ x &= 0 \text{ или } x + 12 = 0; \\ x &= 0 \text{ или } x = -12. \end{aligned}\]
б) \[\begin{aligned} 16x^2 - 9 &= 0; \\ (4x - 3)(4x + 3) &= 0; \\ 4x - 3 &= 0 \text{ или } 4x + 3 = 0; \\ x &= 0{,}75 \text{ или } x = -0{,}75. \end{aligned}\]
в) \[\begin{aligned} 5x^2 + 30 &= 0; \\ 5x^2 &= -30; \qquad | : 5 \\ x^2 &= -6. \end{aligned}\] Квадрат любого числа неотрицателен, а число \(-6\) отрицательно, поэтому уравнение не имеет решений.
Ответ: а) \(-12\); \(0\); б) \(-0{,}75\); \(0{,}75\); в) решений нет.
Решите уравнение: а) \(\frac{1}{4}x^2 + 3x = 0\); б) \(16x^2 - 9 = 0\); в) \(5x^2 + 30 = 0\).
а) Умножим обе части уравнения на 4, чтобы коэффициенты стали целыми, и вынесем за скобки множитель \(x\). Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \[\begin{aligned} \frac{1}{4}x^2 + 3x &= 0; \qquad | \cdot 4 \\ x^2 + 12x &= 0; \\ x(x + 12) &= 0; \\ x &= 0 \text{ или } x + 12 = 0; \\ x &= 0 \text{ или } x = -12. \end{aligned}\]
б) Заметим, что \(16x^2 = (4x)^2\) и \(9 = 3^2\), и разложим левую часть уравнения на множители по формуле разности квадратов. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \[\begin{aligned} 16x^2 - 9 &= 0; \\ (4x - 3)(4x + 3) &= 0; \\ 4x - 3 &= 0 \text{ или } 4x + 3 = 0; \\ x &= 0{,}75 \text{ или } x = -0{,}75. \end{aligned}\]
в) Перенесём 30 в правую часть уравнения с противоположным знаком и разделим обе части на 5: \[\begin{aligned} 5x^2 + 30 &= 0; \\ 5x^2 &= -30; \qquad | : 5 \\ x^2 &= -6. \end{aligned}\] Квадрат любого числа неотрицателен, а число \(-6\) отрицательно, поэтому уравнение не имеет решений.
Ответ: а) \(-12\); \(0\); б) \(-0{,}75\); \(0{,}75\); в) решений нет.
