Страница 85 номер 434, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение: а) \(x^2 + x = 12\); б) \(x^2 + 6x - 7 = 0\); в) \(x^2 - 5x - 84 = 0\); г) \(4x^2 - 5x - 26 = 0\); д) \(9 - 5x^2 + 4x = 0\).
а) \[x^2 + x - 12 = 0.\] Коэффициенты: \(a = 1\), \(b = 1\) и \(c = -12\). \[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49.\] Поскольку \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня; \(\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7\). \[\begin{aligned} x &= \frac{-1 - 7}{2} = -4; \\ x &= \frac{-1 + 7}{2} = 3. \end{aligned}\]
б) Коэффициенты: \(a = 1\), \(b = 6\) и \(c = -7\). \[D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64.\] Поскольку \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня; \(\sqrt{D} = \sqrt{64} = 8\). \[\begin{aligned} x &= \frac{-6 - 8}{2} = -7; \\ x &= \frac{-6 + 8}{2} = 1. \end{aligned}\]
в) Коэффициенты: \(a = 1\), \(b = -5\) и \(c = -84\). \[D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84) = 25 + 336 = 361.\] Поскольку \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня; \(\sqrt{D} = 19\). \[\begin{aligned} x &= \frac{5 - 19}{2} = -7; \\ x &= \frac{5 + 19}{2} = 12. \end{aligned}\]
г) Коэффициенты: \(a = 4\), \(b = -5\) и \(c = -26\). \[D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-26) = 25 + 416 = 441.\] Поскольку \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня; \(\sqrt{D} = 21\). \[\begin{aligned} x &= \frac{5 - 21}{2 \cdot 4} = \frac{-16}{8} = -2; \\ x &= \frac{5 + 21}{2 \cdot 4} = \frac{26}{8} = 3{,}25. \end{aligned}\]
д) \[\begin{aligned} 9 - 5x^2 + 4x &= 0; \\ -5x^2 + 4x + 9 &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ 5x^2 - 4x - 9 &= 0. \end{aligned}\] Коэффициенты: \(a = 5\), \(b = -4\) и \(c = -9\). \[D = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-9) = 16 + 180 = 196.\] Поскольку \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня; \(\sqrt{D} = 14\). \[\begin{aligned} x &= \frac{4 - 14}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1; \\ x &= \frac{4 + 14}{2 \cdot 5} = \frac{18}{10} = 1{,}8. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(-4\); \(3\); б) \(-7\); \(1\); в) \(-7\); \(12\); г) \(-2\); \(3{,}25\); д) \(-1\); \(1{,}8\).
Решите уравнение: а) \(x^2 + x = 12\); б) \(x^2 + 6x - 7 = 0\); в) \(x^2 - 5x - 84 = 0\); г) \(4x^2 - 5x - 26 = 0\); д) \(9 - 5x^2 + 4x = 0\).
а) Перенесём 12 в левую часть уравнения с противоположным знаком: \[x^2 + x - 12 = 0.\] Выпишем коэффициенты получившегося квадратного уравнения: \(a = 1\), \(b = 1\) и \(c = -12\). \[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49.\] Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два различных корня; \(\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7\). Найдём корни по формулам: \[\begin{aligned} x &= \frac{-1 - 7}{2} = -4; \\ x &= \frac{-1 + 7}{2} = 3. \end{aligned}\]
б) Выпишем коэффициенты квадратного уравнения: \(a = 1\), \(b = 6\) и \(c = -7\). \[D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64.\] Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два различных корня; \(\sqrt{D} = \sqrt{64} = 8\). Найдём корни по формулам: \[\begin{aligned} x &= \frac{-6 - 8}{2} = -7; \\ x &= \frac{-6 + 8}{2} = 1. \end{aligned}\]
в) Выпишем коэффициенты квадратного уравнения: \(a = 1\), \(b = -5\) и \(c = -84\). \[D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84) = 25 + 336 = 361.\] Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два различных корня. Поскольку \(361 = 19^2\), получаем, что \(\sqrt{D} = 19\). Найдём корни по формулам: \[\begin{aligned} x &= \frac{5 - 19}{2} = -7; \\ x &= \frac{5 + 19}{2} = 12. \end{aligned}\]
г) Выпишем коэффициенты квадратного уравнения: \(a = 4\), \(b = -5\) и \(c = -26\). \[D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-26) = 25 + 416 = 441.\] Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два различных корня. Поскольку \(441 = 21^2\), получаем, что \(\sqrt{D} = 21\). Найдём корни по формулам: \[\begin{aligned} x &= \frac{5 - 21}{2 \cdot 4} = \frac{-16}{8} = -2; \\ x &= \frac{5 + 21}{2 \cdot 4} = \frac{26}{8} = 3{,}25. \end{aligned}\]
д) Запишем слагаемые в порядке убывания степеней переменной и умножим обе части уравнения на \(-1\): \[\begin{aligned} 9 - 5x^2 + 4x &= 0; \\ -5x^2 + 4x + 9 &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ 5x^2 - 4x - 9 &= 0. \end{aligned}\] Выпишем коэффициенты получившегося квадратного уравнения: \(a = 5\), \(b = -4\) и \(c = -9\). \[D = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-9) = 16 + 180 = 196.\] Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два различных корня. Поскольку \(196 = 14^2\), получаем, что \(\sqrt{D} = 14\). Найдём корни по формулам: \[\begin{aligned} x &= \frac{4 - 14}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1; \\ x &= \frac{4 + 14}{2 \cdot 5} = \frac{18}{10} = 1{,}8. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(-4\); \(3\); б) \(-7\); \(1\); в) \(-7\); \(12\); г) \(-2\); \(3{,}25\); д) \(-1\); \(1{,}8\).
