Страница 85 номер 433, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение: а) \(x^2 + 2x - 8 = 0\); б) \(x^2 - 9x - 52 = 0\); в) \(-5x^2 + 4x + 28 = 0\); г) \(x^2 - 10x + 84 = 0\).
а) Коэффициенты: \(a = 1\), \(b = 2\) и \(c = -8\). \[D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36.\] Поскольку \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня; \(\sqrt{D} = \sqrt{36} = 6\). \[\begin{aligned} x &= \frac{-2 - 6}{2} = -4; \\ x &= \frac{-2 + 6}{2} = 2. \end{aligned}\]
б) Коэффициенты: \(a = 1\), \(b = -9\) и \(c = -52\). \[D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-52) = 81 + 208 = 289.\] Поскольку \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня; \(\sqrt{D} = 17\). \[\begin{aligned} x &= \frac{9 - 17}{2} = -4; \\ x &= \frac{9 + 17}{2} = 13. \end{aligned}\]
в) \[\begin{aligned} -5x^2 + 4x + 28 &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ 5x^2 - 4x - 28 &= 0. \end{aligned}\] Коэффициенты: \(a = 5\), \(b = -4\) и \(c = -28\). \[D = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-28) = 16 + 560 = 576.\] Поскольку \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня; \(\sqrt{D} = 24\). \[\begin{aligned} x &= \frac{4 - 24}{2 \cdot 5} = \frac{-20}{10} = -2; \\ x &= \frac{4 + 24}{2 \cdot 5} = \frac{28}{10} = 2{,}8. \end{aligned}\]
г) Коэффициенты: \(a = 1\), \(b = -10\) и \(c = 84\). \[D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 84 = 100 - 336 = -236.\] Поскольку \(D < 0\), уравнение корней не имеет.
Ответ: а) \(-4\); \(2\); б) \(-4\); \(13\); в) \(-2\); \(2{,}8\); г) решений нет.
Решите уравнение: а) \(x^2 + 2x - 8 = 0\); б) \(x^2 - 9x - 52 = 0\); в) \(-5x^2 + 4x + 28 = 0\); г) \(x^2 - 10x + 84 = 0\).
а) Выпишем коэффициенты квадратного уравнения: \(a = 1\), \(b = 2\) и \(c = -8\). \[D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36.\] Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два различных корня; \(\sqrt{D} = \sqrt{36} = 6\). Найдём корни по формулам: \[\begin{aligned} x &= \frac{-2 - 6}{2} = -4; \\ x &= \frac{-2 + 6}{2} = 2. \end{aligned}\]
б) Выпишем коэффициенты квадратного уравнения: \(a = 1\), \(b = -9\) и \(c = -52\). \[D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-52) = 81 + 208 = 289.\] Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два различных корня. Поскольку \(289 = 17^2\), получаем, что \(\sqrt{D} = 17\). Найдём корни по формулам: \[\begin{aligned} x &= \frac{9 - 17}{2} = -4; \\ x &= \frac{9 + 17}{2} = 13. \end{aligned}\]
в) Умножим обе части уравнения на \(-1\), чтобы старший коэффициент стал положительным: \[\begin{aligned} -5x^2 + 4x + 28 &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ 5x^2 - 4x - 28 &= 0. \end{aligned}\] Выпишем коэффициенты получившегося квадратного уравнения: \(a = 5\), \(b = -4\) и \(c = -28\). \[D = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-28) = 16 + 560 = 576.\] Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два различных корня. Поскольку \(576 = 24^2\), получаем, что \(\sqrt{D} = 24\). Найдём корни по формулам: \[\begin{aligned} x &= \frac{4 - 24}{2 \cdot 5} = \frac{-20}{10} = -2; \\ x &= \frac{4 + 24}{2 \cdot 5} = \frac{28}{10} = 2{,}8. \end{aligned}\]
г) Выпишем коэффициенты квадратного уравнения: \(a = 1\), \(b = -10\) и \(c = 84\). \[D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 84 = 100 - 336 = -236.\] Дискриминант отрицателен, значит, уравнение корней не имеет.
Ответ: а) \(-4\); \(2\); б) \(-4\); \(13\); в) \(-2\); \(2{,}8\); г) решений нет.
