Страница 85 номер 424, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение, использовав выделение полного квадрата: а) \(x^2 + 8x + 10 = 0\); б) \(x^2 - 14x + 52 = 0\).
а) \[x^2 + 8x + 10 = (x^2 + 2 \cdot 4 \cdot x + 4^2) - 4^2 + 10 = (x + 4)^2 - 6.\] \(6 = (\sqrt{6})^2\), поэтому \[\begin{aligned} x^2 + 8x + 10 &= 0; \\ (x + 4)^2 - (\sqrt{6})^2 &= 0; \\ (x + 4 - \sqrt{6})(x + 4 + \sqrt{6}) &= 0; \\ x + 4 - \sqrt{6} &= 0 \text{ или } x + 4 + \sqrt{6} = 0; \\ x &= -4 + \sqrt{6} \text{ или } x = -4 - \sqrt{6}. \end{aligned}\]
б) \[x^2 - 14x + 52 = (x^2 - 2 \cdot 7 \cdot x + 7^2) - 7^2 + 52 = (x - 7)^2 + 3.\] \((x - 7)^2 \geqslant 0\) при любом значении \(x\), значит, выражение \((x - 7)^2 + 3\) принимает только положительные значения. Следовательно, уравнение не имеет решений.
Ответ: а) \(-4 - \sqrt{6}\); \(-4 + \sqrt{6}\); б) решений нет.
Решите уравнение, использовав выделение полного квадрата: а) \(x^2 + 8x + 10 = 0\); б) \(x^2 - 14x + 52 = 0\).
а) Слагаемое \(8x\) — удвоенное произведение \(x\) и числа 4. Выделим полный квадрат в выражении \(x^2 + 8x + 10\): \[x^2 + 8x + 10 = (x^2 + 2 \cdot 4 \cdot x + 4^2) - 4^2 + 10 = (x + 4)^2 - 6.\] Заметим, что \(6 = (\sqrt{6})^2\), и решим исходное уравнение: \[\begin{aligned} x^2 + 8x + 10 &= 0; \\ (x + 4)^2 - (\sqrt{6})^2 &= 0; \\ (x + 4 - \sqrt{6})(x + 4 + \sqrt{6}) &= 0; \\ x + 4 - \sqrt{6} &= 0 \text{ или } x + 4 + \sqrt{6} = 0; \\ x &= -4 + \sqrt{6} \text{ или } x = -4 - \sqrt{6}. \end{aligned}\]
б) Вычитаемое \(14x\) — удвоенное произведение \(x\) и числа 7. Выделим полный квадрат в выражении \(x^2 - 14x + 52\): \[x^2 - 14x + 52 = (x^2 - 2 \cdot 7 \cdot x + 7^2) - 7^2 + 52 = (x - 7)^2 + 3.\] Заметим, что \((x - 7)^2 \geqslant 0\) при любом значении \(x\), значит, выражение \((x - 7)^2 + 3\) принимает только положительные значения. Следовательно, уравнение \(x^2 - 14x + 52 = 0\) не имеет решений.
Ответ: а) \(-4 - \sqrt{6}\); \(-4 + \sqrt{6}\); б) решений нет.
