Страница 85 номер 419, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение, использовав выделение полного квадрата: а) \(x^2 - 12x + 36 = 0\); б) \(x^2 - 14x + 48 = 0\).
а) \[x^2 - 12x + 36 = x^2 - 2 \cdot 6 \cdot x + 6^2 = (x - 6)^2.\] Следовательно, \[\begin{aligned} x^2 - 12x + 36 &= 0; \\ (x - 6)^2 &= 0; \\ x - 6 &= 0; \\ x &= 6. \end{aligned}\]
б) \[x^2 - 14x + 48 = (x^2 - 2 \cdot 7 \cdot x + 7^2) - 7^2 + 48 = (x - 7)^2 - 1.\] Следовательно, \[\begin{aligned} x^2 - 14x + 48 &= 0; \\ (x - 7)^2 - 1 &= 0; \\ (x - 7)^2 - 1^2 &= 0; \\ (x - 7 - 1)(x - 7 + 1) &= 0; \\ (x - 8)(x - 6) &= 0; \\ x - 8 &= 0 \text{ или } x - 6 = 0; \\ x &= 8 \text{ или } x = 6. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(6\); б) \(6\); \(8\).
Решите уравнение, использовав выделение полного квадрата: а) \(x^2 - 12x + 36 = 0\); б) \(x^2 - 14x + 48 = 0\).
а) В выражении \(x^2 - 12x + 36\) вычитаемое \(12x\) — удвоенное произведение \(x\) и числа 6, а \(36 = 6^2\). Значит, это выражение — полный квадрат: \[x^2 - 12x + 36 = x^2 - 2 \cdot 6 \cdot x + 6^2 = (x - 6)^2.\] Следовательно, \[\begin{aligned} x^2 - 12x + 36 &= 0; \\ (x - 6)^2 &= 0; \\ x - 6 &= 0; \\ x &= 6. \end{aligned}\]
б) Вычитаемое \(14x\) — удвоенное произведение \(x\) и числа 7. Выделим полный квадрат в выражении \(x^2 - 14x + 48\): \[x^2 - 14x + 48 = (x^2 - 2 \cdot 7 \cdot x + 7^2) - 7^2 + 48 = (x - 7)^2 - 1.\] Следовательно, \[\begin{aligned} x^2 - 14x + 48 &= 0; \\ (x - 7)^2 - 1 &= 0; \\ (x - 7)^2 - 1^2 &= 0; \\ (x - 7 - 1)(x - 7 + 1) &= 0; \\ (x - 8)(x - 6) &= 0; \\ x - 8 &= 0 \text{ или } x - 6 = 0; \\ x &= 8 \text{ или } x = 6. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(6\); б) \(6\); \(8\).
