Страница 79 номер 406, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение: а) \(x^2 - 2x = 0\); б) \(9 - x^2 = 0\); в) \(x^2 = 1936\); г) \(4x^2 - 9 = 0\); д) \(10x^2 + 7x = 0\); е) \(4x^2 - 3x + 7 = 2x^2 + x + 7\); ж) \((x + 3)(x - 4) = -12\).
а) \[\begin{aligned} x^2 - 2x &= 0; \\ x(x - 2) &= 0; \\ x &= 0 \text{ или } x - 2 = 0; \\ x &= 0 \text{ или } x = 2. \end{aligned}\]
б) \(x^2 = 9\);
\(x = -3\) или \(x = 3\).
в) Число 1936 положительно, поэтому уравнение имеет два корня: \(-\sqrt{1936}\) и \(\sqrt{1936}\). Так как \(44 > 0\) и \(44^2 = 1936\), то \(\sqrt{1936} = 44\). Следовательно, \(x = -44\) или \(x = 44\).
г) \[\begin{aligned} 4x^2 - 9 &= 0; \\ (2x - 3)(2x + 3) &= 0; \\ 2x - 3 &= 0 \text{ или } 2x + 3 = 0; \\ x &= 1{,}5 \text{ или } x = -1{,}5. \end{aligned}\]
д) \[\begin{aligned} 10x^2 + 7x &= 0; \\ x(10x + 7) &= 0; \\ x &= 0 \text{ или } 10x + 7 = 0; \\ x &= 0 \text{ или } x = -0{,}7. \end{aligned}\]
е) \[\begin{aligned} 4x^2 - 3x + 7 &= 2x^2 + x + 7; \\ 4x^2 - 3x + 7 - 2x^2 - x - 7 &= 0; \\ 2x^2 - 4x &= 0; \\ x(2x - 4) &= 0; \\ x &= 0 \text{ или } 2x - 4 = 0; \\ x &= 0 \text{ или } x = 2. \end{aligned}\]
ж) \[\begin{aligned} (x + 3)(x - 4) &= -12; \\ x^2 - 4x + 3x - 12 &= -12; \\ x^2 - x - 12 + 12 &= 0; \\ x^2 - x &= 0; \\ x(x - 1) &= 0; \\ x &= 0 \text{ или } x - 1 = 0; \\ x &= 0 \text{ или } x = 1. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(0\); \(2\); б) \(-3\); \(3\); в) \(-44\); \(44\); г) \(-1{,}5\); \(1{,}5\); д) \(-0{,}7\); \(0\); е) \(0\); \(2\); ж) \(0\); \(1\).
Решите уравнение: а) \(x^2 - 2x = 0\); б) \(9 - x^2 = 0\); в) \(x^2 = 1936\); г) \(4x^2 - 9 = 0\); д) \(10x^2 + 7x = 0\); е) \(4x^2 - 3x + 7 = 2x^2 + x + 7\); ж) \((x + 3)(x - 4) = -12\).
а) Вынесем за скобки множитель \(x\). Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \[\begin{aligned} x^2 - 2x &= 0; \\ x(x - 2) &= 0; \\ x &= 0 \text{ или } x - 2 = 0; \\ x &= 0 \text{ или } x = 2. \end{aligned}\]
б) Приведём уравнение к виду \(x^2 = 9\). Следовательно, \(x = -3\) или \(x = 3\).
в) Число 1936 положительно, поэтому уравнение имеет два корня: \(-\sqrt{1936}\) и \(\sqrt{1936}\). Так как \(44 > 0\) и \(44^2 = 1936\), то \(\sqrt{1936} = 44\). Следовательно, \(x = -44\) или \(x = 44\).
г) Заметим, что \(4x^2 = (2x)^2\) и \(9 = 3^2\). Тогда: \[\begin{aligned} 4x^2 - 9 &= 0; \\ (2x - 3)(2x + 3) &= 0; \\ 2x - 3 &= 0 \text{ или } 2x + 3 = 0; \\ x &= 1{,}5 \text{ или } x = -1{,}5. \end{aligned}\]
д) Вынесем за скобки множитель \(x\): \[\begin{aligned} 10x^2 + 7x &= 0; \\ x(10x + 7) &= 0; \\ x &= 0 \text{ или } 10x + 7 = 0; \\ x &= 0 \text{ или } x = -0{,}7. \end{aligned}\]
е) Перенесём все слагаемые в левую часть, приведём подобные слагаемые и вынесем за скобки множитель \(x\): \[\begin{aligned} 4x^2 - 3x + 7 &= 2x^2 + x + 7; \\ 4x^2 - 3x + 7 - 2x^2 - x - 7 &= 0; \\ 2x^2 - 4x &= 0; \\ x(2x - 4) &= 0; \\ x &= 0 \text{ или } 2x - 4 = 0; \\ x &= 0 \text{ или } x = 2. \end{aligned}\]
ж) Раскроем скобки, перенесём все слагаемые в левую часть, приведём подобные слагаемые и вынесем за скобки множитель \(x\): \[\begin{aligned} (x + 3)(x - 4) &= -12; \\ x^2 - 4x + 3x - 12 &= -12; \\ x^2 - x - 12 + 12 &= 0; \\ x^2 - x &= 0; \\ x(x - 1) &= 0; \\ x &= 0 \text{ или } x - 1 = 0; \\ x &= 0 \text{ или } x = 1. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(0\); \(2\); б) \(-3\); \(3\); в) \(-44\); \(44\); г) \(-1{,}5\); \(1{,}5\); д) \(-0{,}7\); \(0\); е) \(0\); \(2\); ж) \(0\); \(1\).
