Страница 76 номер 401, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Упростите выражение \(\frac{18b}{\sqrt{a - \sqrt{a^2 - 81b^2}}}\) при \(a > 0\) и \(b > 0\).
Выражение имеет смысл, когда \(a^2 - 81b^2 \geqslant 0\) и \(a - \sqrt{a^2 - 81b^2} > 0\).
Первое условие означает, что \(a^2 \geqslant (9b)^2\). Числа \(a\) и \(9b\) положительны, поэтому это неравенство верно тогда и только тогда, когда \(\sqrt{a^2} \geqslant \sqrt{(9b)^2}\), то есть \(a \geqslant 9b\).
Второе условие при этом выполняется: так как \(b > 0\), то \(a^2 - 81b^2 < a^2\), поэтому \(\sqrt{a^2 - 81b^2} < \sqrt{a^2} = a\).
Значит, выражение имеет смысл при \(a \geqslant 9b\).
Умножим числитель и знаменатель дроби на положительное выражение \(\sqrt{a + \sqrt{a^2 - 81b^2}}\); при \(b > 0\) верно \(\sqrt{81b^2} = 9b\): \[\begin{aligned} &\frac{18b}{\sqrt{a - \sqrt{a^2 - 81b^2}}} = \frac{18b\sqrt{a + \sqrt{a^2 - 81b^2}}}{\sqrt{(a - \sqrt{a^2 - 81b^2})(a + \sqrt{a^2 - 81b^2})}} = {} \\ &= \frac{18b\sqrt{a + \sqrt{a^2 - 81b^2}}}{\sqrt{a^2 - (a^2 - 81b^2)}} = \frac{18b\sqrt{a + \sqrt{a^2 - 81b^2}}}{\sqrt{81b^2}} = {} \\ &= \frac{18b\sqrt{a + \sqrt{a^2 - 81b^2}}}{9b} = 2\sqrt{a + \sqrt{a^2 - 81b^2}}. \end{aligned}\] \(2\sqrt{a + \sqrt{a^2 - 81b^2}} = \sqrt{4a + 4\sqrt{a^2 - 81b^2}}\).
При \(a \geqslant 9b\) числа \(2a + 18b\) и \(2a - 18b\) неотрицательны, поэтому \(4a = (2a + 18b) + (2a - 18b) = (\sqrt{2a + 18b})^2 + (\sqrt{2a - 18b})^2\) и \[\begin{aligned} &4\sqrt{a^2 - 81b^2} = 2\sqrt{4a^2 - 324b^2} = 2\sqrt{(2a + 18b)(2a - 18b)} = {} \\ &= 2\sqrt{2a + 18b} \cdot \sqrt{2a - 18b}. \end{aligned}\] Тогда: \[\begin{aligned} &4a + 4\sqrt{a^2 - 81b^2} = {} \\ &= (\sqrt{2a + 18b})^2 + 2\sqrt{2a + 18b} \cdot \sqrt{2a - 18b} + (\sqrt{2a - 18b})^2 = {} \\ &= (\sqrt{2a + 18b} + \sqrt{2a - 18b})^2. \end{aligned}\] Сумма \(\sqrt{2a + 18b} + \sqrt{2a - 18b}\) неотрицательна, поэтому \[\begin{aligned} &\frac{18b}{\sqrt{a - \sqrt{a^2 - 81b^2}}} = \sqrt{4a + 4\sqrt{a^2 - 81b^2}} = {} \\ &= \sqrt{(\sqrt{2a + 18b} + \sqrt{2a - 18b})^2} = \sqrt{2a + 18b} + \sqrt{2a - 18b}. \end{aligned}\]
Ответ: \(\sqrt{2a + 18b} + \sqrt{2a - 18b}\), \(a \geqslant 9b\).
Упростите выражение \(\frac{18b}{\sqrt{a - \sqrt{a^2 - 81b^2}}}\) при \(a > 0\) и \(b > 0\).
Выражение имеет смысл, когда \(a^2 - 81b^2 \geqslant 0\) и \(a - \sqrt{a^2 - 81b^2} > 0\). Первое условие означает, что \(a^2 \geqslant (9b)^2\). Числа \(a\) и \(9b\) положительны, поэтому это неравенство верно тогда и только тогда, когда \(\sqrt{a^2} \geqslant \sqrt{(9b)^2}\), то есть \(a \geqslant 9b\). Второе условие при этом выполняется: так как \(b > 0\), то \(a^2 - 81b^2 < a^2\), поэтому \(\sqrt{a^2 - 81b^2} < \sqrt{a^2} = a\). Значит, выражение имеет смысл при \(a \geqslant 9b\).
Умножим числитель и знаменатель дроби на положительное выражение \(\sqrt{a + \sqrt{a^2 - 81b^2}}\). Произведение корней из неотрицательных чисел равно корню из их произведения, под корнем получится произведение сопряжённых выражений, а при \(b > 0\) верно \(\sqrt{81b^2} = 9b\): \[\begin{aligned} &\frac{18b}{\sqrt{a - \sqrt{a^2 - 81b^2}}} = \frac{18b\sqrt{a + \sqrt{a^2 - 81b^2}}}{\sqrt{(a - \sqrt{a^2 - 81b^2})(a + \sqrt{a^2 - 81b^2})}} = {} \\ &= \frac{18b\sqrt{a + \sqrt{a^2 - 81b^2}}}{\sqrt{a^2 - (a^2 - 81b^2)}} = \frac{18b\sqrt{a + \sqrt{a^2 - 81b^2}}}{\sqrt{81b^2}} = {} \\ &= \frac{18b\sqrt{a + \sqrt{a^2 - 81b^2}}}{9b} = 2\sqrt{a + \sqrt{a^2 - 81b^2}}. \end{aligned}\] Освободимся от внешнего корня. Внесём множитель 2 под знак корня: \(2\sqrt{a + \sqrt{a^2 - 81b^2}} = \sqrt{4a + 4\sqrt{a^2 - 81b^2}}\). При \(a \geqslant 9b\) числа \(2a + 18b\) и \(2a - 18b\) неотрицательны. Заметим, что \(4a = (2a + 18b) + (2a - 18b) = (\sqrt{2a + 18b})^2 + (\sqrt{2a - 18b})^2\) и \[\begin{aligned} &4\sqrt{a^2 - 81b^2} = 2\sqrt{4a^2 - 324b^2} = 2\sqrt{(2a + 18b)(2a - 18b)} = {} \\ &= 2\sqrt{2a + 18b} \cdot \sqrt{2a - 18b}. \end{aligned}\] Тогда: \[\begin{aligned} &4a + 4\sqrt{a^2 - 81b^2} = {} \\ &= (\sqrt{2a + 18b})^2 + 2\sqrt{2a + 18b} \cdot \sqrt{2a - 18b} + (\sqrt{2a - 18b})^2 = {} \\ &= (\sqrt{2a + 18b} + \sqrt{2a - 18b})^2. \end{aligned}\] Сумма \(\sqrt{2a + 18b} + \sqrt{2a - 18b}\) неотрицательна, поэтому \[\begin{aligned} &\frac{18b}{\sqrt{a - \sqrt{a^2 - 81b^2}}} = \sqrt{4a + 4\sqrt{a^2 - 81b^2}} = {} \\ &= \sqrt{(\sqrt{2a + 18b} + \sqrt{2a - 18b})^2} = \sqrt{2a + 18b} + \sqrt{2a - 18b}. \end{aligned}\]
Ответ: \(\sqrt{2a + 18b} + \sqrt{2a - 18b}\), \(a \geqslant 9b\).
