Страница 76 номер 399, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Вынесем множитель из-под знака самого внутреннего корня: \(\sqrt{176} = \sqrt{16 \cdot 11} = 4\sqrt{11}\). Представим выражение \(45 + 4\sqrt{11}\) в виде квадрата. Заметим, что \(4\sqrt{11} = 2 \cdot 1 \cdot 2\sqrt{11}\) и \(45 = 1 + 44 = 1^2 + (2\sqrt{11})^2\). Тогда: \[45 + \sqrt{176} = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 2\sqrt{11} + (2\sqrt{11})^2 = (1 + 2\sqrt{11})^2.\] Число \(1 + 2\sqrt{11}\) положительно, поэтому \[\sqrt{45 + \sqrt{176}} = \sqrt{(1 + 2\sqrt{11})^2} = |1 + 2\sqrt{11}| = 1 + 2\sqrt{11}.\] Под внешним корнем получаем \(11 + 1 + 2\sqrt{11} = 12 + 2\sqrt{11}\), причём \(12 = 1 + 11 = 1^2 + (\sqrt{11})^2\) и \(2\sqrt{11} = 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{11}\). Тогда: \[12 + 2\sqrt{11} = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{11} + (\sqrt{11})^2 = (1 + \sqrt{11})^2.\] Число \(1 + \sqrt{11}\) положительно. Следовательно, \[\begin{aligned} &\sqrt{11 + \sqrt{45 + \sqrt{176}}} = \sqrt{12 + 2\sqrt{11}} = {} \\ &= \sqrt{(1 + \sqrt{11})^2} = |1 + \sqrt{11}| = 1 + \sqrt{11}. \end{aligned}\]

Ответ: \(1 + \sqrt{11}\).