Страница 76 номер 394, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Приведите пример таких натуральных \(a\) и \(b\), что \(\sqrt{a + b\sqrt{2}} = 2 + \sqrt{2}\).
Число \(2 + \sqrt{2}\) положительно, поэтому равенство \(\sqrt{a + b\sqrt{2}} = 2 + \sqrt{2}\) верно, если \(a + b\sqrt{2} = (2 + \sqrt{2})^2\). \[(2 + \sqrt{2})^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 4 + 4\sqrt{2} + 2 = 6 + 4\sqrt{2}.\] При \(a = 6\) и \(b = 4\) получаем \(a + b\sqrt{2} = 6 + 4\sqrt{2} = (2 + \sqrt{2})^2\), а значит, \(\sqrt{6 + 4\sqrt{2}} = 2 + \sqrt{2}\).
Ответ: например, \(a = 6\), \(b = 4\).
Приведите пример таких натуральных \(a\) и \(b\), что \(\sqrt{a + b\sqrt{2}} = 2 + \sqrt{2}\).
Число \(2 + \sqrt{2}\) положительно. По определению арифметического квадратного корня равенство \(\sqrt{a + b\sqrt{2}} = 2 + \sqrt{2}\) верно, если \(a + b\sqrt{2} = (2 + \sqrt{2})^2\). Найдём этот квадрат: \[(2 + \sqrt{2})^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 4 + 4\sqrt{2} + 2 = 6 + 4\sqrt{2}.\] При \(a = 6\) и \(b = 4\) получаем \(a + b\sqrt{2} = 6 + 4\sqrt{2} = (2 + \sqrt{2})^2\), а значит, \(\sqrt{6 + 4\sqrt{2}} = 2 + \sqrt{2}\).
Ответ: например, \(a = 6\), \(b = 4\).
