Страница 76 номер 391, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Вынесите множитель из-под знака корня в выражении \(\sqrt{a^{4n+3} \cdot b^{2m+3}}\) при \(a > 0\) и \(b > 0\).
Будем считать, что \(n\) и \(m\) — натуральные числа. \[\begin{aligned} a^{4n+3} &= a^{4n+2} \cdot a = (a^{2n+1})^2 \cdot a; \\ b^{2m+3} &= b^{2m+2} \cdot b = (b^{m+1})^2 \cdot b. \end{aligned}\] При \(a > 0\) и \(b > 0\) все множители положительны, поэтому \[\begin{aligned} &\sqrt{a^{4n+3} \cdot b^{2m+3}} = \sqrt{(a^{2n+1})^2 \cdot (b^{m+1})^2 \cdot ab} = {} \\ &= \sqrt{(a^{2n+1})^2} \cdot \sqrt{(b^{m+1})^2} \cdot \sqrt{ab} = a^{2n+1}b^{m+1}\sqrt{ab}. \end{aligned}\]
Ответ: \(a^{2n+1}b^{m+1}\sqrt{ab}\).
Вынесите множитель из-под знака корня в выражении \(\sqrt{a^{4n+3} \cdot b^{2m+3}}\) при \(a > 0\) и \(b > 0\).
Будем считать, что \(n\) и \(m\) — натуральные числа. Выделим в каждой степени множитель с чётным показателем: \[\begin{aligned} a^{4n+3} &= a^{4n+2} \cdot a = (a^{2n+1})^2 \cdot a; \\ b^{2m+3} &= b^{2m+2} \cdot b = (b^{m+1})^2 \cdot b. \end{aligned}\] При \(a > 0\) и \(b > 0\) все множители положительны, поэтому корень из произведения равен произведению корней. Корень из квадрата положительного числа равен этому числу: \(\sqrt{(a^{2n+1})^2} = a^{2n+1}\), \(\sqrt{(b^{m+1})^2} = b^{m+1}\). Получаем: \[\begin{aligned} &\sqrt{a^{4n+3} \cdot b^{2m+3}} = \sqrt{(a^{2n+1})^2 \cdot (b^{m+1})^2 \cdot ab} = {} \\ &= \sqrt{(a^{2n+1})^2} \cdot \sqrt{(b^{m+1})^2} \cdot \sqrt{ab} = a^{2n+1}b^{m+1}\sqrt{ab}. \end{aligned}\]
Ответ: \(a^{2n+1}b^{m+1}\sqrt{ab}\).
