Страница 76 номер 390, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Избавьтесь от внешнего корня в выражении: а) \(\sqrt{a + 1 - 4\sqrt{a - 3}}\); б) \(\sqrt{2 + 2\sqrt{1 - a^2}}\).
а) Внутренний корень имеет смысл при \(a - 3 \geqslant 0\), то есть при \(a \geqslant 3\).
\(4\sqrt{a - 3} = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{a - 3}\) и \(a + 1 = (a - 3) + 4 = (\sqrt{a - 3})^2 + 2^2\). Тогда: \[a + 1 - 4\sqrt{a - 3} = (\sqrt{a - 3})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{a - 3} + 2^2 = (\sqrt{a - 3} - 2)^2.\] Следовательно, при всех \(a \geqslant 3\) выражение имеет смысл и \[\sqrt{a + 1 - 4\sqrt{a - 3}} = \sqrt{(\sqrt{a - 3} - 2)^2} = |\sqrt{a - 3} - 2|.\] Поскольку \(2 = \sqrt{4}\) и подкоренные числа \(a - 3\) и 4 неотрицательны, неравенство \(\sqrt{a - 3} \geqslant \sqrt{4}\) верно тогда и только тогда, когда \(a - 3 \geqslant 4\), то есть \(a \geqslant 7\).
Если \(a \geqslant 7\), то \(\sqrt{a - 3} - 2 \geqslant 0\) и \(|\sqrt{a - 3} - 2| = \sqrt{a - 3} - 2\).
Если \(3 \leqslant a < 7\), то \(\sqrt{a - 3} - 2 < 0\) и \(|\sqrt{a - 3} - 2| = 2 - \sqrt{a - 3}\).
б) Внутренний корень имеет смысл при \(1 - a^2 \geqslant 0\), то есть при \(a^2 \leqslant 1\). Числа \(a^2\) и 1 неотрицательны, поэтому это неравенство верно тогда и только тогда, когда \(\sqrt{a^2} \leqslant \sqrt{1}\), то есть \(|a| \leqslant 1\), откуда \(-1 \leqslant a \leqslant 1\).
При таких значениях переменной числа \(1 + a\) и \(1 - a\) неотрицательны, поэтому \[\sqrt{1 - a^2} = \sqrt{(1 + a)(1 - a)} = \sqrt{1 + a} \cdot \sqrt{1 - a}.\] Кроме того, \(2 = (1 + a) + (1 - a) = (\sqrt{1 + a})^2 + (\sqrt{1 - a})^2\). Тогда: \[\begin{aligned} &2 + 2\sqrt{1 - a^2} = (\sqrt{1 + a})^2 + 2 \cdot \sqrt{1 + a} \cdot \sqrt{1 - a} + (\sqrt{1 - a})^2 = {} \\ &= (\sqrt{1 + a} + \sqrt{1 - a})^2. \end{aligned}\] Сумма \(\sqrt{1 + a} + \sqrt{1 - a}\) неотрицательна как сумма неотрицательных чисел, поэтому \[\begin{aligned} &\sqrt{2 + 2\sqrt{1 - a^2}} = \sqrt{(\sqrt{1 + a} + \sqrt{1 - a})^2} = {} \\ &= |\sqrt{1 + a} + \sqrt{1 - a}| = \sqrt{1 + a} + \sqrt{1 - a}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(2 - \sqrt{a - 3}\) при \(3 \leqslant a < 7\), \(\sqrt{a - 3} - 2\) при \(a \geqslant 7\); б) \(\sqrt{1 + a} + \sqrt{1 - a}\).
Избавьтесь от внешнего корня в выражении: а) \(\sqrt{a + 1 - 4\sqrt{a - 3}}\); б) \(\sqrt{2 + 2\sqrt{1 - a^2}}\).
а) Внутренний корень имеет смысл при \(a - 3 \geqslant 0\), то есть при \(a \geqslant 3\). Представим выражение \(a + 1 - 4\sqrt{a - 3}\) в виде квадрата. Заметим, что \(4\sqrt{a - 3} = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{a - 3}\) и \(a + 1 = (a - 3) + 4 = (\sqrt{a - 3})^2 + 2^2\). Тогда: \[a + 1 - 4\sqrt{a - 3} = (\sqrt{a - 3})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{a - 3} + 2^2 = (\sqrt{a - 3} - 2)^2.\] Следовательно, при всех \(a \geqslant 3\) выражение имеет смысл и \[\sqrt{a + 1 - 4\sqrt{a - 3}} = \sqrt{(\sqrt{a - 3} - 2)^2} = |\sqrt{a - 3} - 2|.\] Знак выражения \(\sqrt{a - 3} - 2\) зависит от \(a\). Поскольку \(2 = \sqrt{4}\) и подкоренные числа \(a - 3\) и 4 неотрицательны, неравенство \(\sqrt{a - 3} \geqslant \sqrt{4}\) верно тогда и только тогда, когда \(a - 3 \geqslant 4\), то есть \(a \geqslant 7\). Если \(a \geqslant 7\), то \(\sqrt{a - 3} - 2 \geqslant 0\) и \(|\sqrt{a - 3} - 2| = \sqrt{a - 3} - 2\). Если \(3 \leqslant a < 7\), то \(\sqrt{a - 3} - 2 < 0\) и \(|\sqrt{a - 3} - 2| = 2 - \sqrt{a - 3}\).
б) Внутренний корень имеет смысл при \(1 - a^2 \geqslant 0\), то есть при \(a^2 \leqslant 1\). Числа \(a^2\) и 1 неотрицательны, поэтому это неравенство верно тогда и только тогда, когда \(\sqrt{a^2} \leqslant \sqrt{1}\), то есть \(|a| \leqslant 1\), откуда \(-1 \leqslant a \leqslant 1\). При таких значениях переменной числа \(1 + a\) и \(1 - a\) неотрицательны, поэтому корень из их произведения равен произведению корней: \[\sqrt{1 - a^2} = \sqrt{(1 + a)(1 - a)} = \sqrt{1 + a} \cdot \sqrt{1 - a}.\] Кроме того, \(2 = (1 + a) + (1 - a) = (\sqrt{1 + a})^2 + (\sqrt{1 - a})^2\). Тогда: \[\begin{aligned} &2 + 2\sqrt{1 - a^2} = (\sqrt{1 + a})^2 + 2 \cdot \sqrt{1 + a} \cdot \sqrt{1 - a} + (\sqrt{1 - a})^2 = {} \\ &= (\sqrt{1 + a} + \sqrt{1 - a})^2. \end{aligned}\] Сумма \(\sqrt{1 + a} + \sqrt{1 - a}\) неотрицательна как сумма неотрицательных чисел, поэтому \[\begin{aligned} &\sqrt{2 + 2\sqrt{1 - a^2}} = \sqrt{(\sqrt{1 + a} + \sqrt{1 - a})^2} = {} \\ &= |\sqrt{1 + a} + \sqrt{1 - a}| = \sqrt{1 + a} + \sqrt{1 - a}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(2 - \sqrt{a - 3}\) при \(3 \leqslant a < 7\), \(\sqrt{a - 3} - 2\) при \(a \geqslant 7\); б) \(\sqrt{1 + a} + \sqrt{1 - a}\).
