Страница 76 номер 389, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Разложим подкоренные выражения на множители и представим каждое из них в виде квадрата: \[\begin{aligned} a^4 - 6a^3 + 9a^2 &= a^2(a^2 - 6a + 9) = a^2(a - 3)^2 = (a(a - 3))^2; \\ 4a^4 - 4a^3 + a^2 &= a^2(4a^2 - 4a + 1) = a^2(2a - 1)^2 = (a(2a - 1))^2; \\ a^2 + 4a + 4 &= (a + 2)^2. \end{aligned}\] Корень из квадрата выражения равен модулю этого выражения, а модуль произведения равен произведению модулей. При \(0{,}5 < a < 3\) верно: \(a > 0\), \(a - 3 < 0\), \(2a - 1 > 0\) и \(a + 2 > 0\). Поэтому \[\begin{aligned} \sqrt{a^4 - 6a^3 + 9a^2} &= |a| \cdot |a - 3| = a(3 - a); \\ \sqrt{4a^4 - 4a^3 + a^2} &= |a| \cdot |2a - 1| = a(2a - 1); \\ \sqrt{a^2 + 4a + 4} &= |a + 2| = a + 2. \end{aligned}\] Следовательно, \[\begin{aligned} &\frac{\sqrt{a^4 - 6a^3 + 9a^2} + \sqrt{4a^4 - 4a^3 + a^2}}{\sqrt{a^2 + 4a + 4}} = \frac{a(3 - a) + a(2a - 1)}{a + 2} = {} \\ &= \frac{3a - a^2 + 2a^2 - a}{a + 2} = \frac{a^2 + 2a}{a + 2} = \frac{a(a + 2)}{a + 2} = a. \end{aligned}\]

Ответ: \(a\).