Страница 76 номер 387, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Приведём дроби под корнем к общему знаменателю \(a^3\): \[\frac{1}{a} + \frac{4(1 - a)}{a^3} = \frac{a^2 + 4(1 - a)}{a^3} = \frac{a^2 - 4a + 4}{a^3} = \frac{(a - 2)^2}{a^3}.\] При \(a > 2\) числитель \((a - 2)^2\) и знаменатель \(a^3\) положительны, поэтому корень из дроби равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя. Корень из квадрата выражения равен модулю этого выражения, и при \(a > 2\) получаем \(\sqrt{(a - 2)^2} = |a - 2| = a - 2\). Кроме того, \(a^3 = a^2 \cdot a\), где оба множителя положительны, поэтому \(\sqrt{a^3} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{a} = |a|\sqrt{a} = a\sqrt{a}\). Значит, \[\sqrt{\frac{1}{a} + \frac{4(1 - a)}{a^3}} = \sqrt{\frac{(a - 2)^2}{a^3}} = \frac{\sqrt{(a - 2)^2}}{\sqrt{a^3}} = \frac{a - 2}{a\sqrt{a}}.\] Учитывая, что \(2 - a = -(a - 2)\) и \(a = (\sqrt{a})^2\), преобразуем всё выражение: \[\begin{aligned} &\frac{a^2}{2 - a} \cdot \sqrt{\frac{1}{a} + \frac{4(1 - a)}{a^3}} = \frac{a^2}{2 - a} \cdot \frac{a - 2}{a\sqrt{a}} = {} \\ &= -\frac{a^2(a - 2)}{(a - 2) \cdot a\sqrt{a}} = -\frac{a}{\sqrt{a}} = -\frac{(\sqrt{a})^2}{\sqrt{a}} = -\sqrt{a}. \end{aligned}\]

Ответ: \(-\sqrt{a}\).